Математика / Линейная алгебра

Формула Коши—Бине для произведения прямоугольных матриц

Определитель AB для прямоугольных множителей раскладывается в сумму произведений согласованных миноров. Каждое слагаемое выбирает одинаковый набор внутренних индексов в A и B.

Опубликовано: 6 ноября 2026 г.Обновлено: 6 ноября 2026 г.

Формула

\det(AB)=\sum_{S\subseteq\{1,\ldots,n\},\ |S|=m}\det A_{:,S}\det B_{S,:},\quad A\in\mathbb R^{m\times n},\ B\in\mathbb R^{n\times m}

Схема Три вклада в определитель Грама

Для A=[[1,0,1],[0,1,1]] квадраты миноров наборов 12,13,23 равны 1. Их сумма 3.

Обозначения

$m,n$: число внешних и внутренних координат, m≤n
$S$: набор m разных внутренних индексов в возрастающем порядке
$A_:,S$: квадратная матрица из столбцов A с индексами S
$B_S,:$: квадратная матрица из строк B с теми же индексами S

Условия применения

Размеры множителей m×n и n×m, причём m≤n. В каждом слагаемом берутся один и тот же набор S и одинаковый возрастающий порядок индексов в обеих подматрицах. Определитель результата имеет порядок m; все суммы и миноры конечны.

Ограничения

При большом n число миноров C(n,m) делает прямую сумму дорогой. Формула является тождеством и не обещает наиболее быстрый алгоритм. Если m>n, ранг AB меньше m и определитель нулевой; сумму по несуществующим наборам можно считать пустой, но этот случай лучше выделять отдельно.

Подробное объяснение

В обычном произведении каждая запись AB содержит сумму по внутренней координате. При раскрытии определителя возникают произведения таких сумм. Члены, повторно использующие один внутренний индекс, взаимно сокращаются из-за кососимметрии определителя. Остаются только наборы из m различных индексов.

Для каждого такого набора перестановки собираются в произведение двух определителей: одного из выбранных столбцов A и второго из соответствующих строк B. Порядок выбранных индексов нужно согласовать. Смена порядка в обоих минорах меняет два знака, которые сокращаются; изменение порядка только в одном даёт ошибку.

Если n=m, доступен ровно один набор всех индексов. Сумма становится detA·detB и возвращает знакомое правило квадратного случая. Если внутренних координат больше, выбор подпространств добавляет несколько независимых вкладов, которые нельзя заменить определителями прямоугольных множителей.

Особенно полезен случай B=Aᵀ. Тогда det(AAᵀ) равен сумме квадратов всех максимальных миноров A. Каждое слагаемое неотрицательно, что объясняет неотрицательность определителя Грама и его обнуление при недостаточном ранге.

На маленьких матрицах можно проверить обе стороны независимо: сначала перемножить A и B и взять определитель результата, затем отдельно составить все согласованные миноры. Такая проверка выявляет пропущенные наборы и перепутанные строки, которые могут не быть заметны по общему размеру результата.

Как пользоваться формулой

Проверьте размеры m×n и n×m; при m>n сразу используйте ограничение ранга, а при m≤n перечислите наборы из m индексов.
Для каждого набора выберите столбцы A и строки B в одном возрастающем порядке, получив две квадратные матрицы m×m.
Вычислите оба определителя со знаками, перемножьте их и сложите все C(n,m) вкладов без замены на суммы модулей.
Независимо вычислите AB и его определитель; для B=Aᵀ дополнительно проверьте, что сумма стала суммой квадратов миноров.

Историческая справка

Двойное имя Коши—Бине закрепилось за обобщением мультипликативности определителя на прямоугольные множители. В центре результата стоят миноры и их согласованные внутренние индексы, поэтому он связывает теорию определителей с геометрией подпространств и рангом.

Современные справочные и учебные изложения помещают формулу рядом с разложениями по минорам и матрицами Грама. Для обучения особенно наглядна сумма квадратов при B=Aᵀ: она показывает, как локальные объёмы выбранных координат дают общий грамов определитель. Такая интерпретация не заменяет знак в общем тождестве, а выделяет важный частный случай. Историческое название не следует смешивать с другими формулами Коши для определителей специального вида.

Историческая линия формулы

Название сохраняет имена Коши и Бине в теории определителей. Приведённое тождество относится к согласованным максимальным минорам прямоугольных множителей; оно отличается от определителя специальной матрицы Коши и от обычного неравенства Коши—Буняковского.

Пример

Пусть A=[[1,0,1],[0,1,1]], B=Aᵀ. Сначала AB=[[2,1],[1,2]], поэтому det(AB)=2·2−1·1=3. Теперь перечислим наборы двух столбцов из трёх: {1,2},{1,3},{2,3}. Миноры A равны соответственно 1,1,−1. Поскольку B=Aᵀ, соответствующие миноры B имеют те же определители. Сумма произведений равна 1²+1²+(−1)²=3. Ответ:3 двумя независимыми способами. Проверка числа слагаемых: C(3,2)=3, все наборы учтены. Знак последнего минора сохраняется до перемножения; в этом специальном случае он исчезает при возведении в квадрат. Для произвольной B отдельные произведения могли бы иметь разные знаки, поэтому заранее брать модули нельзя.

Частая ошибка

Не пытайтесь взять det прямоугольной A или B отдельно. Не выбирайте разные наборы индексов в множителях одного слагаемого. Не забывайте знак миноров и не превращайте сумму в сумму модулей. Не переносите свойство суммы квадратов на произвольную B: оно использует специальное соотношение B=Aᵀ.

Практика

Задачи с решением

Одна внешняя координата

Условие. A=[2,3], B=(4,5)ᵀ. Проверьте формулу при m=1.

Решение. Наборы{1},{2} дают 2·4+3·5=8+15=23. Произведение AB — матрица 1×1 с элементом 23.

Ответ. 23.

Недостаточный ранг

Условие. A имеет 3×2, B имеет 2×3. Чему равен det(AB)?

Решение. Ранг AB не больше 2, а порядок произведения 3. Следовательно, строки зависимы и определитель равен 0.

Ответ. 0.

Дополнительные источники

https://dlmf.nist.gov/1.3
https://people.cs.uchicago.edu/~laci/HANDOUTS/linalgbook.pdf

Связанные формулы

Математика

Матричное произведение

$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$

Матричное произведение строит элемент новой матрицы как скалярное произведение строки первой матрицы и столбца второй. Порядок множителей важен.

Математика

Ранг матрицы через миноры

$\operatorname{rank}A=\max\{r:\text{существует ненулевой минор порядка }r\}$

Ранг матрицы равен наибольшему порядку ненулевого минора. Он показывает, сколько строк или столбцов матрицы действительно независимы.

Математика

Определитель матрицы 2x2

$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$

Определитель матрицы 2x2 равен разности произведений диагоналей. Он показывает, во сколько раз линейное преобразование меняет ориентированную площадь.