Все формулы РФ

Физика / Колебания и волны

Частота пружинного маятника

Частота пружинного маятника определяется жесткостью пружины и массой груза: жесткая пружина повышает частоту, большая масса понижает ее.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭЕГЭФормулы по физике за 9 классФормулы по физике за 11 классФормулы по физике для ЕГЭКолебания и волныКалькулятор

Формула

$$\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$
Схема Груз на пружине
mk

Частота растет с жесткостью и падает с массой.

Обозначения

$\nu$
частота собственных колебаний, Гц
$k$
жесткость пружины, Н/м
$m$
масса груза, кг

Условия применения

  • Сила упругости подчиняется закону Гука F = -kx.
  • Масса пружины мала по сравнению с массой груза или уже учтена поправкой.
  • Колебания малые, трением и сопротивлением среды можно пренебречь.

Ограничения

  • При больших растяжениях пружина может выйти из линейного режима, и формула перестанет быть точной.
  • Сильное трение уменьшает наблюдаемую частоту и вызывает затухание.
  • Если пружина тяжелая, эффективная масса системы больше массы груза.

Подробное объяснение

Пружинный маятник является классической моделью гармонического осциллятора. Когда груз смещают от положения равновесия, пружина создает возвращающую силу, пропорциональную смещению и направленную к равновесию. Чем больше жесткость k, тем сильнее возвращающая сила при том же смещении, поэтому система быстрее меняет направление движения. Чем больше масса m, тем труднее изменить скорость груза, и колебания становятся медленнее.

Сначала из второго закона Ньютона и закона Гука получают уравнение m x'' + kx = 0. Его решение является синусоидой с угловой частотой omega = sqrt(k/m). Обычная частота в герцах меньше угловой в 2pi раз, потому что один полный оборот фазы соответствует 2pi радиан. Поэтому nu = omega / 2pi.

Эта формула важна не только для школьной пружины. Та же математическая структура встречается в колебательных контурах, молекулярных связях, механических вибрациях и инженерных задачах. Но физический смысл k и m должен соответствовать конкретной системе, иначе численная подстановка будет формальной.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что колебания можно считать малыми и упругими.
  2. Переведите жесткость в Н/м, массу в кг.
  3. Вычислите отношение k / m и извлеките квадратный корень.
  4. Разделите результат на 2pi, чтобы получить частоту в герцах.
  5. Сравните результат с периодом: T должен быть равен 1 / nu.

Историческая справка

Модель пружинного маятника опирается на закон Гука, сформулированный Робертом Гуком в XVII веке: в пределах упругости деформация пропорциональна силе. После становления ньютоновской механики стало ясно, что такая линейная возвращающая сила приводит к синусоидальным колебаниям. Гармонический осциллятор оказался одной из самых плодотворных моделей физики: им описывают механические вибрации, электрические колебания, малые отклонения систем около равновесия и даже приближенное движение атомов в твердых телах. Школьная формула частоты является компактным результатом этого развития: она соединяет упругость, инерцию и периодическое движение. Она стала эталоном для проверки моделей, где возвращающая сила пропорциональна отклонению.

Историческая линия формулы

Формула связана с законом Гука и ньютоновской динамикой. Ее современная запись через k и m выражает стандартное решение уравнения гармонического осциллятора, а не отдельный эмпирический закон одного автора. В таком виде она закрепилась как учебная форма решения линейного уравнения колебаний.

Пример

Груз массой 0,25 кг прикреплен к пружине жесткостью 100 Н/м. Частота собственных колебаний равна nu = (1 / 2pi) sqrt(k / m) = (1 / 6,28) sqrt(100 / 0,25). Под корнем получаем 400, корень равен 20. Тогда nu ≈ 20 / 6,28 ≈ 3,18 Гц. Это значит, что система делает чуть больше трех полных колебаний в секунду. Если массу увеличить в четыре раза, отношение k/m уменьшится в четыре раза, корень уменьшится в два раза, и частота тоже станет в два раза меньше. Поэтому зависимость от массы не линейная, а корневая.

Частая ошибка

Частая ошибка - забывать множитель 2pi и вместо частоты находить угловую частоту omega = sqrt(k/m). Вторая ошибка - подставлять массу в граммах, например 250 вместо 0,25 кг. Еще одна ошибка - считать, что амплитуда влияет на частоту идеального пружинного маятника. В линейной модели амплитуда меняет максимальную скорость и энергию, но не собственную частоту.

Практика

Задачи с решением

Груз на жесткой пружине

Условие. m = 0,5 кг, k = 200 Н/м. Найдите частоту колебаний.

Решение. nu = (1 / 2pi) sqrt(200 / 0,5) = (1 / 6,28) sqrt(400) = 20 / 6,28 ≈ 3,18 Гц.

Ответ. примерно 3,18 Гц

Сравнение масс

Условие. Массу груза увеличили в 9 раз при той же пружине. Как изменилась частота?

Решение. nu пропорциональна 1 / sqrt(m). При увеличении m в 9 раз частота уменьшается в sqrt(9) = 3 раза.

Ответ. уменьшилась в 3 раза

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax College Physics 2e, раздел Simple Harmonic Motion
  • ФИПИ: кодификатор ОГЭ и ЕГЭ по физике, механические колебания

Связанные формулы

Физика

Частота колебаний через период

$\nu=\frac{1}{T}$

Частота колебаний равна числу полных колебаний за одну секунду и обратно пропорциональна периоду одного колебания. Это базовая связь для любого устойчиво повторяющегося процесса.

Физика

Эффект Доплера для звука

$\nu'=\nu\frac{v\pm v_o}{v\mp v_s}$

Эффект Доплера описывает изменение наблюдаемой частоты волны при движении источника или наблюдателя относительно среды. В акустике это проявляется как изменение высоты слышимого тона.

Физика

Средняя квадратичная скорость молекул

$v_{\text{с.кв.}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$

Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа связана с температурой и молярной массой и определяет среднюю кинетическую энергию поступательного движения.