Все формулы РФ

Химия / Растворы

Точная концентрация ионов слабой кислоты через квадратное уравнение

Для слабой одноосновной кислоты баланс и равновесие дают квадратное уравнение. Его положительный корень учитывает уменьшение недиссоциировавшей кислоты; точность остаётся ограничена идеальной моделью и пренебрежением вкладом воды.

Опубликовано: Обновлено:

РастворыБазовые химические расчетыСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаКалькулятор

Формула

$$K_a=\frac{x^2}{c^\circ(c_0-x)},\qquad x=\frac{2K_ac^\circ c_0}{K_ac^\circ+\sqrt{(K_ac^\circ)^2+4K_ac^\circ c_0}}$$
Схема Слабая кислота: баланс и ошибка приближения
Слабая кислота: баланс и ошибка приближенияСлабая кислота: баланс и ошибка приближения[HA]=c₀−x; [H⁺]≈[A⁻]=xТочный корень: x≈9,512492·10⁻⁵ моль/лПриближённо: x≈1,000000·10⁻⁴ моль/лПревышение приближения ≈5,125%pH≈4,021706; диссоциация ≈9,512492%

Ka=10⁻⁵, c₀=10⁻³ моль/л, c°=1 моль/л.

Обозначения

$c₀$
исходная аналитическая концентрация кислоты HA, моль/л
$x$
концентрация диссоциировавшей части, примерно [H⁺], моль/л
$Ka$
безразмерная константа диссоциации, 1
$α$
степень диссоциации x/c₀, 1
$c°$
стандартная концентрация, 1 моль/л, моль/л

Условия применения

Изначально раствор содержит только одноосновную HA с концентрацией c₀>0. Вклад воды в [H⁺] пренебрежимо мал, [H⁺]≈[A⁻]=x. Активности заменены c/c° при c°=1 моль/л; температура постоянна. В краткой записи Ka=x²/(c₀−x) используются численные молярности.

Ограничения

При концентрации H⁺, сравнимой с собственным вкладом воды, нужны полный зарядовый баланс и Kw. Для смеси кислот или многоосновного электролита одного квадратного уравнения недостаточно. В неидеальном растворе pH определяется активностью H⁺, а не одной концентрацией.

Подробное объяснение

Пусть исходная концентрация HA равна c₀, а распавшаяся часть — x. В равновесии [H+]=x, [A−]=x, [HA]=c₀−x. Подстановка в Ka=(x/c°)²/((c₀−x)/c°) после раскрытия скобок даёт x²+Ka x−Ka c₀=0. Физически выбирают положительный корень, потому что концентрация не может быть отрицательной и не превышает c₀.

При x намного меньше c₀ знаменатель заменяют c₀, получая x≈√(Ka c° c₀). Но это проверяемое приближение, а не исходное определение. После точного решения вычисляют pH≈−log₁₀(x/c°) и степень диссоциации α=x/c₀.

Разбавление увеличивает относительную диссоциацию, хотя абсолютная концентрация H+ может уменьшаться. В очень разбавленном растворе вклад воды нельзя игнорировать. Для многоосновной кислоты нужны последовательные Ka и полный зарядовый баланс; для концентрированного раствора — активности.

Квадратичная форма особенно полезна как проверка расчёта: подстановка найденного x обратно в Ka должна восстановить исходную константу. Если приближённый ответ отличается более чем на выбранный допуск, сообщают точный расчёт и причину отказа от корня.

При очень малом Ka прямое вычитание близких чисел в квадратном корне может терять точность вычислений. Равносильная рационализированная форма в основной записи избегает этого вычитания: числитель 2Ka c°c₀ делят на сумму Ka c° и корня. Она даёт тот же положительный корень в точной арифметике.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите исходную концентрацию HA, константу и стандартную концентрацию; исключите фоновую кислоту или общий анион.
  2. Обозначьте распавшуюся часть через x и составьте баланс c₀−x вместе с нормированным выражением константы.
  3. Выберите положительный корень квадратного уравнения; при малом Ka используйте рационализированную форму без вычитания.
  4. Проверьте 0<x<c₀, восстановление Ka и малость вклада воды; найдите pH через x/c° и оцените ошибку корневого приближения.

Историческая справка

Расчёт слабой кислоты соединяет равновесную константу с сохранением исходного количества вещества. Диссоциация превращает часть HA в равные количества H⁺ и A⁻, поэтому в знаменателе остаётся c₀−x. Квадратное уравнение здесь не отдельный химический закон, а способ решить уже выбранную модель.

В учебной традиции XX–XXI веков часто сначала применяют приближение малой диссоциации, а затем проверяют его по найденному x. OpenStax Chemistry 2e рассматривает такой расчёт через изменение состава и проверку приближений. Современная запись уточняет нормировку концентраций и вклад воды; вычислительная практика добавляет рационализированную форму корня, чтобы избежать потери точности при вычитании близких чисел. Развитие записи сохраняет исходную связь между балансом вещества и равновесием.

Историческая линия формулы

Квадратный расчёт диссоциации — следствие закона действующих масс и материального баланса одноосновной кислоты. Он не имеет отдельного автора. Слово «точный» означает сохранение x в остатке кислоты, но не отменяет приближения активностей и пренебрежения автопротолизом воды.

Пример

Для условной кислоты HA возьмём Ka=1,0×10⁻⁵ и c₀=1,0×10⁻³ моль/л, c°=1 моль/л. Баланс даёт [HA]=c₀−x, [H⁺]≈[A⁻]=x. Положительный корень равен x≈9,5124922×10⁻⁵ моль/л. Тогда pH≈−log₁₀(x/c°)=4,021706, степень диссоциации x/c₀≈9,512492%. Приближение √(Ka c°c₀)=1,00×10⁻⁴ моль/л превышает точный корень примерно на 5,125%; при допуске 5% оно не проходит. Обратная подстановка (x/c°)²/((c₀−x)/c°) даёт 10⁻⁵. Вклад воды на этом уровне H⁺ мал; слово «точный» относится к квадратному балансу, а не к любому реальному раствору.

Частая ошибка

Не заменяйте остаток HA исходной концентрацией, пока не проверена малость диссоциации. Не используйте отрицательный корень. Логарифм берут от безразмерного x/c°, а не от величины с произвольной единицей. Точный квадратный баланс не учитывает воду, смесь кислот и неидеальность автоматически.

Практика

Задачи с решением

Точный корень

Условие. Ka=1,0×10⁻⁵, c₀=1,0×10⁻³ моль/л. Найдите x.

Решение. Положительный корень x≈9,5124922×10⁻⁵ моль/л; pH≈−log₁₀(x/c°)=4,021706.

Ответ. [H⁺]≈9,51249×10⁻⁵ моль/л, pH≈4,02171.

Проверка приближения

Условие. Ka=1,0×10⁻⁵, c₀=1,0×10⁻². Сравните точный и корневой ответы.

Решение. Точный корень x≈3,11267292×10⁻⁴ моль/л; приближённый 3,16227766×10⁻⁴. Относительное превышение около 1,594%.

Ответ. Приближение допустимо с оговорённым допуском.

Калькулятор

Расчёт: Концентрация H⁺

Одноосновная кислота без фоновых ионов; идеальный баланс, вкладом воды пренебрегают, c°=1 моль/л.

Введите значенияКалькулятор покажет ответ, промежуточные величины и ход подстановки.
  • Одноосновная кислота без фоновых ионов; идеальный баланс, вкладом воды пренебрегают, c°=1 моль/л.

Дополнительные источники

  • https://openstax.org/books/chemistry-2e/pages/14-3-relative-strengths-of-acids-and-bases
  • https://openstax.org/books/chemistry-2e/pages/13-2-equilibrium-constants

Связанные формулы

Химия

Уравнение Хендерсона-Хассельбаха для буфера

$pH=pK_a+\log\frac{[A^-]}{[HA]}$

Уравнение Хендерсона-Хассельбаха для буфера: формула pH=pK_a+\log\frac{[A^-]}{[HA]} помогает величины pH, pK_a, A, HA заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Химия

Ионное произведение воды для pH-расчетов

$K_w=[H^+][OH^-]$

Ионное произведение воды для pH-расчетов: формула K_w=[H^+][OH^-] помогает величины K_w, H, OH заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.