Математика / Численное дифференцирование

Трёхточечная левая формула производной второго порядка

Трёхточечный шаблон использует два предыдущих узла и текущее значение, чтобы оценить производную на правом краю равномерной сетки с ошибкой порядка h². Он точнее простой левой разности и не требует будущих значений.

Опубликовано: 30 октября 2026 г.Обновлено: 30 октября 2026 г.

Формула

f^{\prime}(x_n)\approx\frac{3f_n-4f_{n-1}+f_{n-2}}{2h}

Схема Три прошлых значения кубической функции

Все три точки лежат на f(x)=x³ и имеют одинаковый шаг 0,1. Подписи содержат x и f(x); производная оценивается в последней точке x=2.

Обозначения

$f′(xₙ)$: производная на последнем узле, единица f / единица x
$fₙ$: f(xₙ), текущее значение, единица f
$fₙ₋₁,fₙ₋₂$: два предыдущих значения, единица f
$h$: равный шаг сетки, единица x

Условия применения

Три точки должны быть равноотстоящими: xₙ−xₙ₋₁=xₙ₋₁−xₙ₋₂=h. Для вывода и оценки остатка предполагают достаточную гладкость; ошибка имеет ведущий член −h²f‴(ξ)/3. Если интервалы неравны, коэффициенты шаблона надо вывести заново.

Ограничения

Преимущество второго порядка может исчезнуть при шумных данных: коэффициент −4 усиливает ошибку среднего измерения. Слишком малый шаг увеличивает влияние округления и шума, а крупный — ошибку усечения. Уменьшение h вдвое даёт приблизительно четырёхкратное снижение ошибки только пока ведущий член h² доминирует.

Подробное объяснение

Коэффициенты 3, −4 и 1 выбираются так, чтобы при подстановке разложений f(xₙ−h) и f(xₙ−2h) сократились постоянная и лишние низшие члены. После деления на 2h остаётся производная в правом узле и погрешность порядка h². Формулу можно получить и из производной интерполяционного полинома через три точки.

Шаблон точен для любого полинома степени не выше двух. Например, для f(x)=x² он восстанавливает производную на последнем узле без ошибки, тогда как простая левая разность отстаёт на h. Это точность для квадратичной модели, не обещание точного значения на любой гладкой функции с конечным шагом.

Структура односторонняя: используются xₙ, xₙ−h и xₙ−2h, поэтому будущие измерения не нужны. Это делает формулу естественной для последнего столбца таблицы. Центральная разность часто тоже имеет второй порядок, но ей необходим узел справа от точки оценки.

Для гладких данных уменьшение h вдвое обычно снижает ошибку аппроксимации примерно в четыре раза. Однако измерительный шум не уменьшается вместе с h; при слишком мелком шаге разность усиливает его. Следует различать ошибку дискретизации, неопределённость данных и округление вычислений.

В численных методах для уравнений в частных производных односторонние шаблоны аппроксимируют производные на границе области. Там локальный порядок — только один критерий: коэффициенты входят в граничное условие и могут влиять на устойчивость всей задачи. Для обработки таблицы достаточно проверить сетку, знак и единицы, а для моделирования нужен анализ полной схемы.

Как пользоваться формулой

Возьмите текущую и две предыдущие точки; подтвердите, что оба промежутка равны одному h.
Подставьте значения в комбинацию 3fₙ−4fₙ₋₁+fₙ₋₂; не меняйте индексы и знаки.
Разделите числитель на 2h и проверьте, что размерность ответа равна единице f на единицу x.
Проверьте шаблон на квадратичной функции или сравните с точным значением, если оно известно.
При доступе к более мелкой сетке сравните оценки; ожидайте фактор около четырёх только при гладких данных без доминирующего шума.

Историческая справка

Односторонние формулы дифференцирования строят из интерполяционного полинома или разложения Тейлора. Трёхточечная схема справа получается подбором коэффициентов, воспроизводящих производную полиномов до второй степени. Такой подход закрепился в анализе конечных разностей и численных схемах XX века, особенно для границ, где симметричный сосед отсутствует.

Современные курсы сопоставляют её с простой backward-разностью первого порядка: использование ещё одной точки повышает порядок с O(h) до O(h²), если данные гладкие. Формула принадлежит общей традиции таблиц конечных разностей и численной интерполяции, а не отдельному открытию одного автора. Сегодня тот же шаблон применяют в граничных аппроксимациях и постобработке сеточных решений.

Историческая линия формулы

У формулы нет индивидуального автора: это стандартная трёхточечная односторонняя аппроксимация, выводимая рядом Тейлора или методом неопределённых коэффициентов. Её история связана с развитием конечных разностей и интерполяции, а не с единичным открытием.

Пример

Для f(x)=x³ оценим производную в x=2 по узлам 1,8; 1,9; 2,0 при h=0,1. Значения равны 5,832; 6,859 и 8. Подстановка даёт (3·8−4·6,859+5,832)/(2·0,1)=(24−27,436+5,832)/0,2=2,396/0,2=11,98. Точная производная 3x² в x=2 равна 12, ошибка −0,02 совпадает с членом −h²f‴/3. Здесь x и f безразмерны; в физической задаче единица ответа равна единице f на единицу x. Пример проверяет коэффициенты и ведущую ошибку. Точность вывода зависит от гладкости и равноотстоящей сетки; если один из узлов смещён или измерения округлены грубо, совпадение с ведущим членом остатка может нарушиться.

Частая ошибка

Не применяйте коэффициенты 3,−4,1 к неравномерным узлам. Не делите на h вместо 2h. Не переставляйте узлы: индексы задают производную в правом конце. Не ожидайте второго порядка на разрывной или шумной функции и не считайте уменьшение шага безусловным улучшением.

Практика

Задачи с решением

Точность на квадрате

Условие. Для f(x)=x² найдите трёхточечное приближение производной при x=2 и равных шагах h=0,1.

Решение. Значения в узлах 1,8; 1,9; 2,0 равны 3,24; 3,61; 4. Подстановка даёт (3·4−4·3,61+3,24)/0,2=0,8/0,2=4.

Ответ. 4, точно для квадратичной функции.

Кубическая ошибка

Условие. Для f(x)=x³ оцените производную в x=1 при h=0,2 по трём узлам 0,6; 0,8; 1,0.

Решение. Подставляем значения 0,216; 0,512; 1: (3−4·0,512+0,216)/0,4=1,168/0,4=2,92.

Ответ. Получено 2,92 при точном значении 3; ошибка равна −0,08.

Дополнительные источники

https://pythonnumericalmethods.studentorg.berkeley.edu/notebooks/chapter20.02-Finite-Difference-Approximating-Derivatives.html
https://dlmf.nist.gov/3.3
https://labs.acme.byu.edu/Volume1/Differentiation/Differentiation.html

Связанные формулы

Математика

Левая разность: производная по текущему и прошлому узлу

$f^{\prime}(x_i)\approx\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{h}$

Левая конечная разность оценивает производную в текущем узле по значению функции в нём и в предыдущем узле. Она имеет ошибку первого порядка по шагу и удобна на правой границе таблицы, когда будущие значения ещё недоступны.

Математика

Центральная разность для первой производной

$f'(x)\approx D_hf(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},\qquad D_hf-f'=O(h^2)$

Центральная разность оценивает первую производную по двум узлам на одинаковом расстоянии слева и справа. Симметрия устраняет линейную по шагу ошибку и обычно даёт второй порядок точности.

Математика

Пятиточечная формула первой производной

$f'(x)\approx P_hf=\frac{f(x-2h)-8f(x-h)+8f(x+h)-f(x+2h)}{12h},\qquad P_hf-f'=O(h^4)$

Пятиточечная центральная формула оценивает первую производную с четвёртым порядком по шагу. Для неё нужны четыре значения вокруг центра: вес самого центрального значения равен нулю.