Математика / Численное дифференцирование

Левая разность: производная по текущему и прошлому узлу

Левая конечная разность оценивает производную в текущем узле по значению функции в нём и в предыдущем узле. Она имеет ошибку первого порядка по шагу и удобна на правой границе таблицы, когда будущие значения ещё недоступны.

Опубликовано: 30 октября 2026 г.Обновлено: 30 октября 2026 г.

Формула

f^{\prime}(x_i)\approx\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{h}

Схема Наклон секущей слева

Синяя кривая x² и коричневая секущая через (1,9;3,61) и (2;4). Наклон секущей равен 3,9.

Обозначения

$f′(xᵢ)$: производная в текущем узле, единица f / единица x
$f(xᵢ)$: текущее значение функции, единица f
$f(xᵢ₋₁)$: значение на предыдущем узле, единица f
$h$: расстояние между узлами, единица x

Условия применения

Узлы должны быть равноотстоящими: xᵢ−xᵢ₋₁=h>0. Для классической оценки остатка предполагают существование и ограниченность второй производной между точками. При неравномерном шаге нужно делить на фактическое расстояние и отдельно оценивать ошибку; выражение с общим h тогда неприменимо.

Ограничения

Погрешность аппроксимации имеет порядок O(h): если уменьшить шаг вдвое, ведущая ошибка для гладкой функции обычно тоже уменьшится примерно вдвое. Слишком малый шаг усиливает шум и округление при вычитании близких значений. Это наклон секущей слева, а не симметричный локальный наклон касательной.

Подробное объяснение

Разложение Тейлора в предыдущей точке даёт f(xᵢ−h)=f(xᵢ)−hf′(xᵢ)+h²f″(ξ)/2. Переносим слагаемые и делим на h: разность значений приближает производную, а первый отброшенный член равен −hf″(ξ)/2. Так видны и происхождение формулы, и причина ошибки первого порядка.

Геометрически берётся наклон отрезка между двумя соседними точками графика. При выпуклой возрастающей функции такая секущая обычно даёт меньший наклон в правом конце, чем касательная. Знак зависит от порядка числителя: если перепутать значения, получится производная с противоположным знаком.

Левая разность полезна для последнего известного измерения временного сигнала. Центральный шаблон требует будущего значения и задерживает оценку как минимум на один шаг. В потоковых индикаторах эта разница важна, но направленная оценка сильнее зависит от локальной кривизны.

Выбор h — компромисс: грубый шаг увеличивает ошибку усечения, слишком мелкий делает разность чувствительной к шуму и точности измерительного прибора. Для гладкого сигнала полезно сравнить результаты на нескольких шагах, если данные это позволяют; для шумного ряда может понадобиться предварительная фильтрация с отдельным анализом задержки.

На неравномерной сетке выражение [f(xᵢ)−f(xᵢ₋₁)]/(xᵢ−xᵢ₋₁) по-прежнему является наклоном секущей, но оценка остатка должна учитывать фактический шаг. Это простая формула локального наклона, а не универсальная модель производной любого ряда.

Как пользоваться формулой

Определите текущий узел xᵢ и предшествующее значение; проверьте равенство расстояний между ними и соседними узлами.
Вычислите f(xᵢ)−f(xᵢ₋₁), сохраняя этот порядок, поскольку формула оценивает наклон в правом конце.
Разделите разность на h; при смене единиц аргумента переведите и сам шаг.
Проверьте, что размерность ответа равна единице f, делённой на единицу x.
Сопоставьте знак со знаком изменения данных, а при доступе к более мелкой сетке сравните оценки.

Историческая справка

Конечные разности выросли из интерполяции и численного анализа производных, когда функция доступна в виде таблицы, а не символического выражения. Формула назад получается из разложения Тейлора в предыдущем узле относительно текущего и сохраняет главный остаток порядка h. Разностные схемы систематически применялись в вычислительной математике с развитием таблиц, инженерных измерений и позднее цифровых расчётов.

Современные учебники представляют левую и правую разности как односторонние аппроксимации первого порядка, а центральную — как более точную для гладкой функции, если доступны точки по обе стороны. В потоковых задачах выбор направления связан с доступностью данных: прошлые измерения уже известны, будущие — нет. Это объясняет, почему низший порядок иногда практичнее симметричного шаблона.

Историческая линия формулы

У формулы нет единственного автора: это стандартный односторонний разностный шаблон, выводимый из ряда Тейлора. Исторически его развитие связано с интерполяцией и численным дифференцированием; атрибуция здесь относится к математической традиции, а не к одному открытию.

Пример

Для f(x)=x² оценим производную в x=2 по узлам 1,9 и 2,0. Шаг h=0,1; значения функции равны 3,61 и 4. Тогда f′(2)≈(4−3,61)/0,1=0,39/0,1=3,9. Точная производная равна 4, следовательно ошибка приближения составляет −0,1. Ряд Тейлора предсказывает ведущую ошибку −h f″/2=−0,1, поскольку f″=2. Совпадение подтверждает знак и масштаб. Если x измеряется в секундах, а f — в метрах, ответ выражается в м/с. Для других функций величина ошибки зависит от второй производной и шага. При фиксированном шаге 0,1 второй порядок погрешности не обещается: для квадрата ошибка −0,1 ожидаема по формуле остатка. В измерительной задаче её можно уменьшить более точной разностной схемой, но шум также учитывают отдельно.

Частая ошибка

Не путайте левую разность с правой: она использует прошлый узел и оценивает наклон в текущем. Не меняйте порядок вычитания, иначе сменится знак. Не используйте общий h для неравномерных узлов. Не уменьшайте шаг бесконечно, если измерительный шум уже сравним с приращением функции; проверьте единицы производной.

Практика

Задачи с решением

Секущая слева

Условие. Для f(x)=x² оцените производную в x=3 по предыдущему узлу x=2,8 и укажите точное значение для сравнения.

Решение. Шаг h=0,2; разность равна 9−7,84=1,16. Делим: 1,16/0,2=5,8; точная производная 2x в x=3 равна 6.

Ответ. Приближение 5,8; точная производная равна 6.

Знак скорости

Условие. Датчик показал 12 м в момент t₀ и 9 м через 3 с в t₁. Оцените скорость в последнем моменте левой разностью.

Решение. Сначала берём изменение 9−12=−3 м, затем делим на прошедшие 3 с: −3/3=−1 м/с.

Ответ. Скорость оценивается как −1 м/с; величина убывает.

Дополнительные источники

https://pythonnumericalmethods.studentorg.berkeley.edu/notebooks/chapter20.02-Finite-Difference-Approximating-Derivatives.html
https://dlmf.nist.gov/3.3
https://labs.acme.byu.edu/Volume1/Differentiation/Differentiation.html

Связанные формулы

Математика

Центральная разность для первой производной

$f'(x)\approx D_hf(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},\qquad D_hf-f'=O(h^2)$

Центральная разность оценивает первую производную по двум узлам на одинаковом расстоянии слева и справа. Симметрия устраняет линейную по шагу ошибку и обычно даёт второй порядок точности.

Математика

Пятиточечная формула первой производной

$f'(x)\approx P_hf=\frac{f(x-2h)-8f(x-h)+8f(x+h)-f(x+2h)}{12h},\qquad P_hf-f'=O(h^4)$

Пятиточечная центральная формула оценивает первую производную с четвёртым порядком по шагу. Для неё нужны четыре значения вокруг центра: вес самого центрального значения равен нулю.

Математика

Экстраполяция Ричардсона для численной производной

$R_h=\frac{4D_{h/2}-D_h}{3},\qquad D_h=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},\qquad R_h-f'(x)=O(h^4)$

Экстраполяция Ричардсона объединяет две центральные оценки производной на шагах h и h/2. При гладкой функции она сокращает ведущую ошибку второго порядка и даёт оценку четвёртого порядка.