Математика / Начала анализа

Пятиточечная формула первой производной

Пятиточечная центральная формула оценивает первую производную с четвёртым порядком по шагу. Для неё нужны четыре значения вокруг центра: вес самого центрального значения равен нулю.

Опубликовано: 21 октября 2026 г.Обновлено: 21 октября 2026 г.

Формула

f'(x)\approx P_hf=\frac{f(x-2h)-8f(x-h)+8f(x+h)-f(x+2h)}{12h},\qquad P_hf-f'=O(h^4)

Схема Пятиточечная схема: веса

Сумму с весами разделить на 12h

Обозначения

$x$: точка оценки первой производной, единица аргумента
$h$: шаг между соседними узлами, единица аргумента
$f(x±h), f(x±2h)$: четыре используемых значения функции, единица функции
$P_hf$: пятиточечная оценка наклона, единица функции / единица аргумента

Условия применения

Все узлы принадлежат области определения, шаг равномерен и положителен. Для обычной оценки O(h⁴) требуется ограниченная пятая производная на отрезке от x−2h до x+2h. Четыре значения должны быть вычислены достаточно точно, чтобы взвешенное вычитание не определялось шумом.

Ограничения

Схема охватывает более широкий интервал, чем трёхточечная, и не подходит рядом с границей без дополнительных данных. Высокий порядок не устраняет скачки и шум. Большие противоположные веса усиливают ошибки значений; при грубых измерениях преимущество перед простой центральной разностью может исчезнуть.

Подробное объяснение

Название «пятиточечная» относится к сеточному шаблону из центра и двух пар соседей. Центральный вес равен нулю, поэтому фактически функция вычисляется в четырёх точках. Знаки весов чередуются так, чтобы сохранить первую производную и убрать ведущий член ошибки обычной центральной схемы.

Обозначим центральную разность с шагом h через Dₕ. Тогда пятиточечная запись равна (4Dₕ−D₂ₕ)/3. У D₂ₕ ведущая ошибка в четыре раза больше, поэтому в этом сочетании добавка, пропорциональная h², сокращается. Остаётся член порядка h⁴ при достаточной гладкости функции.

Коэффициенты можно проверить без знания конкретной функции: сумма весов равна нулю, значит производная постоянной получается нулевой. Первый момент весов после деления на 12 равен единице, поэтому производная x получается точно. Следующие моменты до четвёртой степени дают требуемое сокращение лишних членов.

На полиномах степени не выше четырёх схема точна в точной арифметике. Для f(x) = x⁵ она даёт 5x⁴−4h⁴. Этот пример обнаруживает и порядок, и знак ведущей ошибки, поэтому полезен для проверки коэффициентов программы. Уменьшение шага вдвое уменьшает модуль такой ошибки в шестнадцать раз.

Дополнительная точность имеет цену. Если ошибка каждого значения ограничена δ, сумма модулей коэффициентов числителя равна 18, поэтому вклад данных в ответ не больше 18δ/(12h). У простой центральной схемы соответствующая граница равна δ/h. На шумной таблице усложнение шаблона способно ухудшить итог, несмотря на лучший порядок усечения.

Как пользоваться формулой

Проверьте наличие узлов x−2h, x−h, x+h и x+2h; не используйте схему через разрыв или границу области функции.
Запишите значения в порядке слева направо и примените веса 1, −8, 8, −1, сохраняя достаточное число цифр.
Разделите взвешенную сумму на 12h и укажите единицы первой производной; центральное значение в сумму не входит.
Повторите расчёт на другом шаге и сопоставьте с простой центральной разностью, чтобы заметить шум или ошибку коэффициентов.

Историческая справка

Пятиточечный шаблон принадлежит семейству формул, в которых точность повышают подбором весов на нескольких узлах. Современная теория рассматривает такие веса как производные интерполяционных базисов либо как решение условий на моменты степеней. В NIST DLMF раздел 3.4 связывает численное дифференцирование с интерполяционными коэффициентами; учебник Дрисколла и Брауна показывает общий подход к построению разностных формул. В этой традиции число точек и порядок точности описывают свойства конкретного шаблона, а не имя отдельного изобретателя. Запись через две центральные разности дополнительно связывает схему с устранением ведущей ошибки. Это объясняет происхождение коэффициентов содержательнее, чем неподтверждённая историческая дата.

Историческая линия формулы

Используется общепринятое описательное название «пятиточечная центральная формула». Её можно получить из интерполяции или сокращением ошибки двух симметричных схем. Единственное персональное авторство этой записи по использованным источникам не устанавливается; источники служат проверкой весов и порядка.

Пример

Вычислим производную безразмерной функции f(x) = x⁵ в x = 1 при h = 0,1. Нужные значения: f(0,8) = 0,32768; f(0,9) = 0,59049; f(1,1) = 1,61051; f(1,2) = 2,48832. Числитель равен 0,32768−8·0,59049+8·1,61051−2,48832 = 5,99952. Деление на 1,2 даёт P = 4,9996. Точная производная равна 5, ошибка −0,0004. При h = 0,05 получается 4,999975 с ошибкой −0,000025: модуль уменьшился в шестнадцать раз. Проверка через тождество P = 5−4h⁴ подтверждает оба ответа независимо от сложения десятичных значений. Это пример ошибки усечения без измерительного шума.

Частая ошибка

Не меняйте местами крайние знаки: перестановка всех знаков даст противоположную производную. Не делите на 12h²: оценивается первая производная. Не требуйте пятого вычисления в центре при нулевом весе. Не считайте высокий порядок гарантией качества шумных данных и не проверяйте его только на полиноме, для которого схема точна.

Практика

Задачи с решением

Точность для кубического полинома

Условие. Оцените f′(2) для f(x) = x³ пятиточечной схемой при h = 1.

Решение. Значения в 0, 1, 3, 4 равны 0, 1, 27, 64. Получаем (0−8+216−64)/12 = 144/12 = 12, как и 3·2².

Ответ. 12.

Данные с ограниченной ошибкой

Условие. Каждое значение известно с ошибкой не более 0,001; h = 0,1. Оцените только усиление ошибок четырёх значений.

Решение. Сумма модулей весов равна 1+8+8+1 = 18. Вклад в производную не больше 18·0,001/(12·0,1) = 0,015.

Ответ. Не более 0,015 в единицах производной.

Дополнительные источники

https://fncbook.com/finitediffs/
https://dlmf.nist.gov/3.4
https://uclnatsci.github.io/2022/NSCI0011/fdiff/dif/formulae.html

Связанные формулы

Математика

Правая разность: производная по двум соседним значениям

$f'(x)\approx D_h^+f(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\qquad D_h^+f-f'=O(h)$

Правая разность оценивает производную по значениям функции в текущем и следующем узле. Это удобная односторонняя схема у левой границы таблицы, но её ошибка обычно линейна по шагу.

Математика

Центральная разность для первой производной

$f'(x)\approx D_hf(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},\qquad D_hf-f'=O(h^2)$

Центральная разность оценивает первую производную по двум узлам на одинаковом расстоянии слева и справа. Симметрия устраняет линейную по шагу ошибку и обычно даёт второй порядок точности.

Математика

Вторая производная по трём равноотстоящим узлам

$f''(x)\approx Q_hf(x)=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2},\qquad Q_hf-f''=O(h^2)$

Трёхточечная центральная схема оценивает вторую производную по отклонению центрального значения от среднего соседей. Она измеряет изменение наклона, а не сам наклон, и имеет второй порядок по шагу.

Математика

Экстраполяция Ричардсона для численной производной

$R_h=\frac{4D_{h/2}-D_h}{3},\qquad D_h=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},\qquad R_h-f'(x)=O(h^4)$

Экстраполяция Ричардсона объединяет две центральные оценки производной на шагах h и h/2. При гладкой функции она сокращает ведущую ошибку второго порядка и даёт оценку четвёртого порядка.