Математика / Начала анализа

Экстраполяция Ричардсона для численной производной

Экстраполяция Ричардсона объединяет две центральные оценки производной на шагах h и h/2. При гладкой функции она сокращает ведущую ошибку второго порядка и даёт оценку четвёртого порядка.

Опубликовано: 21 октября 2026 г.Обновлено: 21 октября 2026 г.

Формула

R_h=\frac{4D_{h/2}-D_h}{3},\qquad D_h=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},\qquad R_h-f'(x)=O(h^4)

Схема Устранение ошибки второго порядка

Грубая оценка 3,04; мелкая 3,01; экстраполяция 3,00.

Обозначения

$D_h$: центральная разность на грубом шаге, единица функции / единица аргумента
$D_{h/2}$: центральная разность на вдвое меньшем шаге, единица функции / единица аргумента
$R_h$: экстраполированная производная, единица функции / единица аргумента
$h$: шаг грубой пары узлов, единица аргумента

Условия применения

Обе оценки вычисляются в одной точке одной гладкой функции на симметричных парах узлов. Для четвёртого порядка нужен допустимый чётный ряд ошибки с ведущим членом ch² и достаточная гладкость, например ограниченная пятая производная. Ошибки округления должны быть меньше сокращаемого члена.

Ограничения

Коэффициент 4 относится к базовому методу второго порядка; для правой разности он неверен. При шуме, разрыве или слишком малом шаге предпосылка о ведущем ch² может нарушаться. Разность двух оценок даёт асимптотический ориентир, но без дополнительных условий не служит строгой верхней границей ошибки.

Подробное объяснение

Пусть на достаточно мелких сетках Dₕ = f′(x)+ch²+O(h⁴). При уменьшении шага вдвое получаем Dₕ/₂ = f′(x)+ch²/4+O(h⁴). Если умножить второе равенство на четыре и вычесть первое, ведущая ошибка исчезнет. Деление на три восстанавливает коэффициент единица перед искомой производной.

Таким образом, метод использует предположение о законе ошибки, а не только близость двух ответов. Обычное среднее двух оценок сохранило бы добавку порядка h². В экстраполяции вес грубой оценки отрицателен, поэтому улучшенный ответ может лежать за пределами интервала между двумя исходными числами. Это нормальное следствие сокращения систематической ошибки.

Разность Dₕ/₂−Dₕ примерно равна −3ch²/4. Поэтому поправка (Dₕ/₂−Dₕ)/3 приближённо компенсирует ошибку более точной оценки Dₕ/₂. Но это лишь оценка в области асимптотического режима; на грубой сетке старшие члены могут быть существенны.

После раскрытия двух центральных разностей получается пятиточечная формула с внутренним шагом h/2. Это связывает экстраполяцию с выбором узлов и позволяет независимо проверить коэффициенты. Страница о пятиточечной схеме разбирает готовый шаблон, а здесь основной вопрос — как построить улучшение из двух расчётов и когда оно обосновано.

Чтобы проверить режим сходимости, полезна третья сетка h/4. Отношение соседних изменений исходной центральной оценки должно приближаться к четырём. Если оно хаотично меняется, нельзя считать экстраполированный ответ надёжным только из-за большого числа напечатанных цифр.

Как пользоваться формулой

В одной и той же точке вычислите центральные оценки D на шагах h и h/2; проверьте симметрию обеих пар узлов.
Убедитесь, что базовая схема имеет второй порядок и значения функции достаточно точны для уменьшения шага.
Умножьте мелкосеточную оценку на четыре, вычтите грубую и разделите на три; сохраните знак поправки.
При наличии третьей сетки сравните соседние изменения; отсутствие ожидаемой сходимости требует проверки данных и гладкости.

Историческая справка

Экстраполяция названа в честь Льюиса Фрая Ричардсона и относится к традиции повышения точности расчётов по нескольким сеткам. В современной учебной постановке главный объект — асимптотическое разложение ошибки: известная зависимость от шага позволяет исключать ведущие члены без вычисления точной производной. Применение к центральной разности даёт особенно простой пример, потому что симметрия оставляет чётные степени h. В учебнике Дрисколла и Брауна анализ конечных разностей связывает такие улучшения с порядком сходимости; справочник NIST DLMF даёт интерполяционную основу дифференцирования. Здесь не переносится история конкретной физической модели на каждую формулу: имя обозначает общий приём экстраполяции, а не отдельное авторство любого полученного шаблона.

Историческая линия формулы

Термин «экстраполяция Ричардсона» относится к устранению ведущей ошибки посредством расчётов с разными шагами. Показанная запись специально использует центральную производную второго порядка. Её коэффициенты следуют из отношения шагов, поэтому они меняются при выборе другого базового метода.

Пример

Для безразмерной функции f(x) = x³ в точке x = 1 возьмём h = 0,2. Центральная разность даёт D₀,₂ = (1,2³−0,8³)/0,4 = (1,728−0,512)/0,4 = 3,04. На шаге 0,1 получаем D₀,₁ = (1,331−0,729)/0,2 = 3,01. Экстраполяция R = (4·3,01−3,04)/3 = 3. Точная производная равна 3x² = 3, поэтому ошибка полностью исчезла: у кубического полинома нет следующего члена ошибки. Поправка к мелкой сетке равна (3,01−3,04)/3 = −0,01. Простое среднее 3,025 оставило бы ошибку. Полное совпадение здесь связано с выбранным полиномом и не означает, что для любой функции экстраполяция сразу даст точный ответ.

Частая ошибка

Не подставляйте в формулу два расчёта в разных точках. Не используйте множитель 4 для схемы первого порядка. Не называйте разность оценок гарантированным доверительным интервалом. Не путайте шаг h внешней пары с внутренним шагом h/2 эквивалентного пятиточечного шаблона. Не скрывайте нестабильность ответа округлением.

Практика

Задачи с решением

Полином четвёртой степени

Условие. Для f(x) = x⁴, x = 1 известны D₀,₂ = 4,16 и D₀,₁ = 4,04. Найдите R.

Решение. R = (4·4,04−4,16)/3 = 12/3 = 4. Это совпадает с точной производной 4x³ в единице.

Ответ. 4.

Первый неустранённый член

Условие. Для f(x) = x⁵ в x = 1 используйте h = 0,2. Даны Dₕ = 5,4016 и Dₕ/₂ = 5,1001.

Решение. R = (20,4004−5,4016)/3 = 4,9996. Ошибка относительно 5 равна −0,0004. Следующий член четвёртого порядка не исчезает.

Ответ. 4,9996; ошибка −0,0004.

Дополнительные источники

https://fncbook.com/finitediffs/
https://dlmf.nist.gov/3.4
https://uclnatsci.github.io/2022/NSCI0011/fdiff/dif/formulae.html
https://fncbook.com/fd-converge/
https://heath.cs.illinois.edu/iem/integration/richrdsn/

Связанные формулы

Математика

Правая разность: производная по двум соседним значениям

$f'(x)\approx D_h^+f(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\qquad D_h^+f-f'=O(h)$

Правая разность оценивает производную по значениям функции в текущем и следующем узле. Это удобная односторонняя схема у левой границы таблицы, но её ошибка обычно линейна по шагу.

Математика

Центральная разность для первой производной

$f'(x)\approx D_hf(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},\qquad D_hf-f'=O(h^2)$

Центральная разность оценивает первую производную по двум узлам на одинаковом расстоянии слева и справа. Симметрия устраняет линейную по шагу ошибку и обычно даёт второй порядок точности.

Математика

Вторая производная по трём равноотстоящим узлам

$f''(x)\approx Q_hf(x)=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2},\qquad Q_hf-f''=O(h^2)$

Трёхточечная центральная схема оценивает вторую производную по отклонению центрального значения от среднего соседей. Она измеряет изменение наклона, а не сам наклон, и имеет второй порядок по шагу.

Математика

Пятиточечная формула первой производной

$f'(x)\approx P_hf=\frac{f(x-2h)-8f(x-h)+8f(x+h)-f(x+2h)}{12h},\qquad P_hf-f'=O(h^4)$

Пятиточечная центральная формула оценивает первую производную с четвёртым порядком по шагу. Для неё нужны четыре значения вокруг центра: вес самого центрального значения равен нулю.