Математика / Начала анализа

Правая разность: производная по двум соседним значениям

Правая разность оценивает производную по значениям функции в текущем и следующем узле. Это удобная односторонняя схема у левой границы таблицы, но её ошибка обычно линейна по шагу.

Опубликовано: 21 октября 2026 г.Обновлено: 21 октября 2026 г.

Формула

f'(x)\approx D_h^+f(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\qquad D_h^+f-f'=O(h)

Схема Правая разность: два веса

Сумму с весами разделить на h

Обозначения

$x$: точка оценки производной, единица аргумента
$h$: положительное расстояние до правого узла, единица аргумента
$f(x)$: значение измеренной или вычисленной функции, единица функции
$D_h^+f$: односторонняя оценка производной, единица функции / единица аргумента

Условия применения

Оба значения относятся к одной функции, а узлы разделены известным ненулевым шагом. Для ошибки первого порядка достаточно ограниченной второй производной на отрезке между узлами. При h > 0 схема использует именно правый сосед; значения и аргументы должны иметь согласованные единицы.

Ограничения

Разность двух близких чисел усиливает ошибки исходных значений при делении на h. Поэтому слишком малый шаг на измеренной таблице может ухудшить ответ. В точке разрыва или излома вычисленное отношение не следует считать обычной двусторонней производной; сама схема не доказывает её существование.

Подробное объяснение

Производная описывает наклон касательной в одной точке, а правая разность — наклон секущей между двумя точками. При конечном шаге эти направления обычно различаются. Именно поэтому в формуле стоит знак приближённого равенства, даже если оба табличных значения записаны точно.

Разложение Тейлора даёт f(x+h) = f(x)+hf′(x)+h²f″(x)/2+O(h³). После вычитания f(x) и деления на h остаётся f′(x)+hf″(x)/2+O(h²). Ведущий член ошибки связан с кривизной графика. Для выпуклой функции секущая справа обычно круче касательной в начальной точке.

Уменьшение h вдвое примерно вдвое уменьшает ошибку усечения, если функция достаточно гладкая и остальные погрешности малы. Проверять это правило полезно на нескольких сетках: одно удачное значение ещё не показывает порядок метода. Для линейной функции кривизна равна нулю, и схема даёт точную производную при любом допустимом шаге.

Если каждое исходное значение имеет абсолютную ошибку не более δ, ошибка их разности не превосходит 2δ, а вклад в наклон ограничен 2δ/|h|. Он растёт при уменьшении шага, в отличие от ошибки усечения. При работе с шумными измерениями нужно учитывать оба механизма и не выбирать минимальный шаг автоматически.

Односторонний характер особенно полезен на границе таблицы. Во внутренней точке обычно доступны симметричные схемы с более высоким порядком, но они требуют данных с обеих сторон. Сравнивать методы следует при одинаковой точке оценки: правая разность здесь относится к x, а не к середине отрезка.

Как пользоваться формулой

Выберите начальную точку x и следующий узел; найдите фактическую разность аргументов h, а не номер строки таблицы.
Вычтите значение в текущем узле из правого значения, сохраняя знак изменения и одинаковые единицы функции.
Разделите найденное приращение на h; подпишите единицы производной как отношение единиц функции к аргументу.
Сравните ответ на меньшем шаге, если такие данные доступны; отдельно оцените усиление ошибок исходной таблицы.

Историческая справка

Правая разность относится к вычислительной традиции замены локального изменения конечным приращением. В современном курсе численных методов она рассматривается рядом с интерполяцией: линейный полином через два соседних значения имеет постоянный наклон, который и используется как оценка производной. Такой взгляд связывает табличный расчёт с дифференциальным исчислением, не требуя отдельной легенды об изобретении данной записи. В справочнике NIST DLMF раздел 3.4 посвящён дифференцированию по узловым значениям; в учебнике Дрисколла и Брауна конечные разности вводятся через веса узлов. Современная запись с O(h) выделяет порядок ошибки и отделяет вычисленную секущую от предельной производной. Единственного автора двухточечной схемы здесь не устанавливают.

Историческая линия формулы

Используется описательное название «правая, или прямая, разность». Формулу можно получить дифференцированием линейного интерполянта или из разложения Тейлора. Ссылка на Тейлора объясняет способ анализа ошибки, а не утверждает его единоличное авторство этой вычислительной схемы.

Пример

Пусть функция задана точно как f(x) = x², аргумент и значение безразмерны. Нужно оценить f′(2), используя только точку x = 2 и правый сосед при h = 0,1. Имеем f(2) = 4 и f(2,1) = 4,41. Правая разность D = (4,41−4)/0,1 = 4,1. Точная производная равна 2x, то есть 4; абсолютная ошибка составляет 0,1. При h = 0,05 получаем (4,2025−4)/0,05 = 4,05 и ошибку 0,05. Она уменьшилась вдвое вместе с шагом. Это согласуется с точной для квадратичной функции добавкой h. Если бы x измерялся в секундах, а f — в метрах, ответ имел бы единицу м/с; сама арифметика не изменилась бы.

Частая ошибка

Не приписывайте секущей точный наклон касательной при конечном шаге. Не делите на h²: это изменит и смысл, и единицы. Не меняйте местами значения, сохраняя положительное h: знак производной станет неверным. Не уменьшайте шаг без оценки шума; близость узлов не гарантирует точности исходной таблицы.

Практика

Задачи с решением

Наклон линейной функции

Условие. Найдите правую разность f(x) = 3x−2 в x = 4 при h = 0,2.

Решение. f(4,2) = 10,6; f(4) = 10. Деление разности 0,6 на 0,2 даёт 3. Это совпадает с точной производной линейной функции.

Ответ. 3.

Граница ошибки данных

Условие. Каждое из двух значений известно с абсолютной ошибкой не более 0,002 м. Шаг равен 0,1 с. Оцените только вклад ошибок данных в скорость.

Решение. При независимом от знаков ограничении модуль ошибки разности не более 0,004 м. Деление на 0,1 с даёт верхнюю границу 0,04 м/с; ошибка усечения сюда не входит.

Ответ. Не более 0,04 м/с от ошибок данных.

Дополнительные источники

https://fncbook.com/finitediffs/
https://dlmf.nist.gov/3.4
https://uclnatsci.github.io/2022/NSCI0011/fdiff/dif/formulae.html

Связанные формулы

Математика

Центральная разность для первой производной

$f'(x)\approx D_hf(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},\qquad D_hf-f'=O(h^2)$

Центральная разность оценивает первую производную по двум узлам на одинаковом расстоянии слева и справа. Симметрия устраняет линейную по шагу ошибку и обычно даёт второй порядок точности.

Математика

Вторая производная по трём равноотстоящим узлам

$f''(x)\approx Q_hf(x)=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2},\qquad Q_hf-f''=O(h^2)$

Трёхточечная центральная схема оценивает вторую производную по отклонению центрального значения от среднего соседей. Она измеряет изменение наклона, а не сам наклон, и имеет второй порядок по шагу.

Математика

Пятиточечная формула первой производной

$f'(x)\approx P_hf=\frac{f(x-2h)-8f(x-h)+8f(x+h)-f(x+2h)}{12h},\qquad P_hf-f'=O(h^4)$

Пятиточечная центральная формула оценивает первую производную с четвёртым порядком по шагу. Для неё нужны четыре значения вокруг центра: вес самого центрального значения равен нулю.

Математика

Экстраполяция Ричардсона для численной производной

$R_h=\frac{4D_{h/2}-D_h}{3},\qquad D_h=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},\qquad R_h-f'(x)=O(h^4)$

Экстраполяция Ричардсона объединяет две центральные оценки производной на шагах h и h/2. При гладкой функции она сокращает ведущую ошибку второго порядка и даёт оценку четвёртого порядка.