Математика / Начала анализа

Центральная разность для первой производной

Центральная разность оценивает первую производную по двум узлам на одинаковом расстоянии слева и справа. Симметрия устраняет линейную по шагу ошибку и обычно даёт второй порядок точности.

Опубликовано: 21 октября 2026 г.Обновлено: 21 октября 2026 г.

Формула

f'(x)\approx D_hf(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},\qquad D_hf-f'=O(h^2)

Схема Первая производная: симметрия

Сумму с весами разделить на 2h

Обозначения

$x$: центральная точка оценки, единица аргумента
$h$: расстояние от центра до каждого соседа, единица аргумента
$f(x+h), f(x-h)$: значения в симметричных узлах, единица функции
$D_hf$: центральная оценка наклона, единица функции / единица аргумента

Условия применения

Нужны значения с обеих сторон от x на одинаковом расстоянии h > 0. Для оценки ошибки O(h²) достаточно ограниченной третьей производной в окрестности центра. Функция должна быть определена на всём отрезке, а точность исходных данных должна позволять вычитать близкие значения.

Ограничения

На краю таблицы симметричной пары может не быть. При неравных расстояниях эта запись теряет заявленный порядок и требует других весов. В точке излома симметричная разность может иметь предел, хотя обычной производной нет; полученное число само по себе не подтверждает дифференцируемость.

Подробное объяснение

Отрезок между симметричными точками задаёт секущую, наклон которой относят к середине. Расстояние между концами равно 2h. Это отличает центральную формулу от правой разности: те же две операции вычитания и деления относятся к другой геометрии узлов и к другой точке оценки.

Вычтем разложения f(x+h) и f(x−h). Постоянные члены и члены с чётными степенями h взаимно уничтожаются. После деления на 2h получаем f′(x)+h²f‴(x)/6+O(h⁴), если хватает гладкости. Исчезновение линейного члена ошибки обеспечивает второй порядок схемы.

Для квадратичной функции третья производная нулевая, и центральная формула точна даже при ненулевом шаге. Для кубической функции остаётся добавка, пропорциональная h². Поэтому кубический полином полезнее прямой для проверки порядка: на прямой и более грубая схема случайно выглядит точной.

При уменьшении шага вдвое ведущая ошибка усечения обычно уменьшается примерно в четыре раза. Но шум и округление делятся на h и могут разрушить эту картину. Нужно искать диапазон шагов, где наблюдается ожидаемая сходимость, а не экстраполировать её до бесконечно малых h.

Симметрия не исправляет отсутствие производной. Для f(x) = |x| в нуле числитель равен нулю при любом h, однако левая и правая производные различаются. Центральная оценка здесь скрывает излом. Перед интерпретацией результата следует проверить гладкость модели и сопоставить односторонние наклоны.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что расстояния от точки x до левого и правого узлов одинаковы; обозначьте это расстояние через h.
Вычтите левое значение из правого и разделите на полную ширину пары 2h, сохраняя единицы и знак наклона.
Если доступны более близкие симметричные узлы, повторите расчёт с h/2 и сравните изменение оценки производной.
Проверьте гладкость в центре: совпавшие симметричные значения могут скрывать излом, поэтому при сомнении сравните односторонние оценки.

Историческая справка

Центральная разность показывает, как в вычислительном анализе используется симметрия узлов. В отличие от односторонней секущей, симметричная пара автоматически сокращает часть членов разложения, и это даёт выигрыш без увеличения числа значений функции. Современные университетские курсы, включая материалы UCL по конечным разностям, выводят эту запись из ряда Тейлора и сравнивают её порядок с прямой разностью. В изложении Дрисколла и Брауна ту же конструкцию можно понимать как выбор весов интерполяционного приближения. Исторический контекст здесь связан с развитием табличных методов и их анализа; отдельный год создания именно двухточечной симметричной записи по используемым источникам не устанавливается. Для практики существеннее различать геометрию узлов, порядок ошибки и влияние вычислительного округления.

Историческая линия формулы

Название схемы описывает расположение узлов относительно точки оценки и не содержит имени автора. Вывод через ряд Тейлора и интерполяцию относится к общему аппарату численного анализа. Упоминание современных учебников указывает источник проверки формулы, а не приписывает их авторам её изобретение.

Пример

Для безразмерной функции f(x) = x³ оценим производную в x = 2 при h = 0,1. Правое значение равно 2,1³ = 9,261, левое — 1,9³ = 6,859. Полная ширина пары 0,2, поэтому D = (9,261−6,859)/0,2 = 12,01. Точная производная 3x² в этой точке равна 12, а ошибка составляет 0,01. Для h = 0,05 значения 8,615125 и 7,414875 дают D = 12,0025. Ошибка стала равна 0,0025, то есть уменьшилась ровно в четыре раза. Это не численное совпадение: для кубического полинома центральная разность равна 3x²+h². Все величины в примере безразмерны; если у исходных осей есть единицы, производная имеет их отношение.

Частая ошибка

Не делите на h вместо 2h: расстояние между используемыми узлами вдвое больше. Не подставляйте неравноотстоящие значения в симметричные веса. Не принимайте нулевую центральную разность за доказательство горизонтальной касательной: пример |x| в нуле показывает обратное. Не обещайте четырёхкратного улучшения там, где доминирует шум.

Практика

Задачи с решением

Квадратичная функция

Условие. Для f(x) = x² найдите центральную разность в x = 3 при h = 0,5.

Решение. Разность 3,5²−2,5² равна 12,25−6,25 = 6. Делим на 1 и получаем 6, что совпадает с 2x.

Ответ. 6, точно для этой функции.

Симметрия без производной

Условие. Что даёт центральная разность f(x) = |x| в нуле и существует ли f′(0)?

Решение. f(h)−f(−h) = h−h = 0 при h > 0. Но односторонние производные равны 1 и −1; двусторонняя производная не существует.

Ответ. Разность равна 0; обычной производной в нуле нет.

Дополнительные источники

https://fncbook.com/finitediffs/
https://dlmf.nist.gov/3.4
https://uclnatsci.github.io/2022/NSCI0011/fdiff/dif/formulae.html

Связанные формулы

Математика

Правая разность: производная по двум соседним значениям

$f'(x)\approx D_h^+f(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\qquad D_h^+f-f'=O(h)$

Правая разность оценивает производную по значениям функции в текущем и следующем узле. Это удобная односторонняя схема у левой границы таблицы, но её ошибка обычно линейна по шагу.

Математика

Вторая производная по трём равноотстоящим узлам

$f''(x)\approx Q_hf(x)=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2},\qquad Q_hf-f''=O(h^2)$

Трёхточечная центральная схема оценивает вторую производную по отклонению центрального значения от среднего соседей. Она измеряет изменение наклона, а не сам наклон, и имеет второй порядок по шагу.

Математика

Пятиточечная формула первой производной

$f'(x)\approx P_hf=\frac{f(x-2h)-8f(x-h)+8f(x+h)-f(x+2h)}{12h},\qquad P_hf-f'=O(h^4)$

Пятиточечная центральная формула оценивает первую производную с четвёртым порядком по шагу. Для неё нужны четыре значения вокруг центра: вес самого центрального значения равен нулю.

Математика

Экстраполяция Ричардсона для численной производной

$R_h=\frac{4D_{h/2}-D_h}{3},\qquad D_h=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},\qquad R_h-f'(x)=O(h^4)$

Экстраполяция Ричардсона объединяет две центральные оценки производной на шагах h и h/2. При гладкой функции она сокращает ведущую ошибку второго порядка и даёт оценку четвёртого порядка.