Математика / Начала анализа

Вторая производная по трём равноотстоящим узлам

Трёхточечная центральная схема оценивает вторую производную по отклонению центрального значения от среднего соседей. Она измеряет изменение наклона, а не сам наклон, и имеет второй порядок по шагу.

Опубликовано: 21 октября 2026 г.Обновлено: 21 октября 2026 г.

Формула

f''(x)\approx Q_hf(x)=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2},\qquad Q_hf-f''=O(h^2)

Схема Вторая производная: три веса

Сумму с весами разделить на h²

Обозначения

$x$: центральный аргумент, единица аргумента
$h$: равномерный шаг сетки, единица аргумента
$f(x)$: центральное значение функции, единица функции
$Q_hf$: оценка второй производной, единица функции / квадрат единицы аргумента

Условия применения

Три узла должны быть равноотстоящими, h > 0. Для стандартной ошибки O(h²) требуется ограниченная четвёртая производная на рассматриваемом отрезке. Значения функции берут в одной системе единиц; исходная зависимость должна быть достаточно гладкой без скачка наклона между узлами.

Ограничения

Шум в значениях усиливается делением на h², поэтому вторая производная чувствительнее первой. Даже слабое округление может изменить знак небольшой кривизны. На неравномерной сетке требуются другие коэффициенты. По одной тройке нельзя доказать выпуклость функции на всём интервале.

Подробное объяснение

Если три точки лежат на прямой, центральное значение равно среднему крайних, а числитель схемы равен нулю. Если график выгнут вниз относительно соединяющей края хорды, среднее крайних выше центра и оценка второй производной положительна. Так формула связывает локальную геометрию таблицы с изменением наклона.

Сложим разложения f(x+h) и f(x−h), затем вычтем 2f(x). Нечётные степени шага сокращаются, а первым оставшимся членом становится h²f″(x). После деления на h² следующая добавка равна h²f⁽⁴⁾(x)/12 при достаточной гладкости. Поэтому схема имеет второй порядок, хотя оценивает производную второго порядка: эти два порядка означают разные вещи.

Ту же запись можно получить как разность двух соседних секущих, делённую на расстояние между их серединами. Секущие имеют наклоны (f(x+h)−f(x))/h и (f(x)−f(x−h))/h; их разность после ещё одного деления на h даёт нужный числитель.

Для квадратичного и кубического полинома четвёртая производная равна нулю, и схема точна. Проверять закон уменьшения ошибки лучше на полиноме четвёртой степени. При делении h пополам его ведущая ошибка уменьшается в четыре раза, пока ошибки самих значений не становятся существенными.

Если каждое значение известно с ошибкой не более δ, абсолютный вклад в числитель ограничен 4δ: центральная ошибка имеет вес 2. Вклад в ответ не более 4δ/h². Поэтому оценка второй производной по экспериментальным данным обычно требует более осторожного выбора шага или предварительного обоснованного сглаживания.

Как пользоваться формулой

Выберите три соседних узла с одинаковым шагом и убедитесь, что центральный аргумент совпадает с точкой оценки.
Умножьте центральное значение на два, вычтите его из суммы крайних и сохраните достаточно цифр до деления.
Разделите числитель на квадрат шага; единица результата содержит квадрат единицы аргумента в знаменателе.
Проверьте ответ на меньшем шаге или тестовом полиноме; отдельно оцените, насколько исходный шум усиливается множителем 1/h².

Историческая справка

Трёхточечная схема связывает табличное дифференцирование с разностными моделями непрерывных процессов. В современной вычислительной математике она служит простейшим локальным приближением второй производной и появляется в пространственных дискретизациях, где нужно описать изменение соседних наклонов. Материалы UCL по конечным разностям выводят формулы первой и второй производных из разложения Тейлора; справочник NIST DLMF рассматривает дифференцирование интерполяционных формул на равноотстоящих узлах. Это два согласованных способа объяснить коэффициенты 1, −2, 1. Здесь не устанавливается единственная историческая дата появления этой записи: важна преемственность между таблицами значений, локальными полиномами и современными вычислительными сетками.

Историческая линия формулы

Коэффициенты 1, −2, 1 задают центральную вторую разность. Это общепринятая конструкция численного анализа, которую можно вывести несколькими способами. Связь с разложением Тейлора означает способ обоснования точности; она не служит утверждением об индивидуальном авторстве данной схемы.

Пример

Для безразмерной функции f(x) = x⁴ оценим f″(1) при h = 0,1. Значения равны f(1,1) = 1,4641, f(1) = 1 и f(0,9) = 0,6561. Числитель 1,4641−2+0,6561 = 0,1202, а h² = 0,01. Получаем Q = 12,02. Точная вторая производная 12x² в точке 1 равна 12; ошибка составляет 0,02. При h = 0,05 схема даёт 12,005 и ошибку 0,005, в четыре раза меньшую. Для этого полинома Q = 12x²+2h², поэтому сравнение можно проверить без округлений. Если функция измеряет положение в метрах, а аргумент — время в секундах, вторая производная и рассчитанное приближение выражаются в м/с².

Частая ошибка

Не путайте вторую производную с квадратом первой: они имеют разные значения и смысл. Не делите на 2h: здесь знаменатель h². Не игнорируйте множитель 2 перед центром. Не определяйте выпуклость всей кривой по одной тройке. Не округляйте исходные значения раньше вычитания, особенно при малом шаге.

Практика

Задачи с решением

Проверка на параболе

Условие. Найдите Q для f(x) = 3x²+2x−1 в x = 0 при h = 0,5.

Решение. f(0,5) = 0,75; f(0) = −1; f(−0,5) = −1,25. Числитель 0,75+2−1,25 = 1,5. Делим на 0,25 и получаем 6.

Ответ. 6, точная вторая производная.

Усиление погрешности

Условие. Каждое значение положения известно с ошибкой не более 0,001 м; h = 0,1 с. Оцените вклад этой ошибки в ускорение.

Решение. Сумма модулей весов равна 4. Вклад не более 4·0,001/0,1² = 0,4 м/с². Это верхняя граница от данных, без ошибки усечения.

Ответ. Не более 0,4 м/с².

Дополнительные источники

https://fncbook.com/finitediffs/
https://dlmf.nist.gov/3.4
https://uclnatsci.github.io/2022/NSCI0011/fdiff/dif/formulae.html

Связанные формулы

Математика

Правая разность: производная по двум соседним значениям

$f'(x)\approx D_h^+f(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\qquad D_h^+f-f'=O(h)$

Правая разность оценивает производную по значениям функции в текущем и следующем узле. Это удобная односторонняя схема у левой границы таблицы, но её ошибка обычно линейна по шагу.

Математика

Центральная разность для первой производной

$f'(x)\approx D_hf(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},\qquad D_hf-f'=O(h^2)$

Центральная разность оценивает первую производную по двум узлам на одинаковом расстоянии слева и справа. Симметрия устраняет линейную по шагу ошибку и обычно даёт второй порядок точности.

Математика

Пятиточечная формула первой производной

$f'(x)\approx P_hf=\frac{f(x-2h)-8f(x-h)+8f(x+h)-f(x+2h)}{12h},\qquad P_hf-f'=O(h^4)$

Пятиточечная центральная формула оценивает первую производную с четвёртым порядком по шагу. Для неё нужны четыре значения вокруг центра: вес самого центрального значения равен нулю.

Математика

Экстраполяция Ричардсона для численной производной

$R_h=\frac{4D_{h/2}-D_h}{3},\qquad D_h=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},\qquad R_h-f'(x)=O(h^4)$

Экстраполяция Ричардсона объединяет две центральные оценки производной на шагах h и h/2. При гладкой функции она сокращает ведущую ошибку второго порядка и даёт оценку четвёртого порядка.