Математика

Численное дифференцирование

Приближение производной конечными разностями и уточнение шага.

Как выбрать подходящий материал

Определите, доступны ли значения по обе стороны точки. Центральная и односторонняя формулы используют разные наборы узлов.
Слишком малый шаг усиливает округление, слишком большой — ошибку приближения. Сравнивайте уточнения, а не уменьшайте шаг без контроля.

5 формул

Формулы темы

Правая разность: производная по двум соседним значениям

Правая разность оценивает производную по значениям функции в текущем и следующем узле. Это удобная односторонняя схема у левой границы таблицы, но её ошибка обычно линейна по шагу.

$f'(x)\approx D_h^+f(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\qquad D_h^+f-f'=O(h)$

Центральная разность для первой производной

Центральная разность оценивает первую производную по двум узлам на одинаковом расстоянии слева и справа. Симметрия устраняет линейную по шагу ошибку и обычно даёт второй порядок точности.

$f'(x)\approx D_hf(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},\qquad D_hf-f'=O(h^2)$

Вторая производная по трём равноотстоящим узлам

Трёхточечная центральная схема оценивает вторую производную по отклонению центрального значения от среднего соседей. Она измеряет изменение наклона, а не сам наклон, и имеет второй порядок по шагу.

$f''(x)\approx Q_hf(x)=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2},\qquad Q_hf-f''=O(h^2)$

Пятиточечная формула первой производной

Пятиточечная центральная формула оценивает первую производную с четвёртым порядком по шагу. Для неё нужны четыре значения вокруг центра: вес самого центрального значения равен нулю.

$f'(x)\approx P_hf=\frac{f(x-2h)-8f(x-h)+8f(x+h)-f(x+2h)}{12h},\qquad P_hf-f'=O(h^4)$

Экстраполяция Ричардсона для численной производной

Экстраполяция Ричардсона объединяет две центральные оценки производной на шагах h и h/2. При гладкой функции она сокращает ведущую ошибку второго порядка и даёт оценку четвёртого порядка.

$R_h=\frac{4D_{h/2}-D_h}{3},\qquad D_h=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},\qquad R_h-f'(x)=O(h^4)$