Математика / Численное интегрирование

Квадратура Гаусса—Лагерра: интеграл с весом exp(−x)

Двухузловая квадратура Гаусса—Лагерра приближает интеграл на положительной полуоси с весом e^(−x). Она точно интегрирует полиномы f степени не выше трёх.

Опубликовано: 6 ноября 2026 г.Обновлено: 6 ноября 2026 г.

Формула

\int_0^\infty e^{-x}f(x)\,dx\approx\frac{2+\sqrt2}{4}f(2-\sqrt2)+\frac{2-\sqrt2}{4}f(2+\sqrt2)

Схема Точные моменты и квадратура

Для множителей x³ и x⁴: первые два столбца совпадают, для четвёртой степени возникает ошибка.

Обозначения

$x$: безразмерная переменная интегрирования
$f(x)$: множитель после выделения веса e^(−x), единицы интеграла
$2±√2$: узлы двухточечной квадратуры
$(2∓√2)/4$: веса при соответствующих узлах 2±√2

Условия применения

Интеграл с весом e^(−x) должен существовать на [0,∞). Формула записана для обычных полиномов Лагерра с параметром α=0. Полиномиальная точность до степени три относится к f, а не к полной функции e^(−x)f(x). Переменная x в экспоненте безразмерна.

Ограничения

Два узла не гарантируют высокую точность для произвольного быстро меняющегося f. Если подынтегральная функция содержит e^(−βx), сначала нужна замена переменной и множитель 1/β. При весе x^αe^(−x) используются обобщённые узлы Лагерра, а не коэффициенты этой записи.

Подробное объяснение

Обычная формула трапеций берёт равномерную сетку на конечном отрезке. Здесь область бесконечна, но экспоненциальный вес делает дальние участки менее значимыми. Гауссова квадратура использует эту структуру: точки и веса выбираются так, чтобы точно воспроизвести как можно больше степенных моментов.

Двухузловая формула опирается на корни L₂(x)=1−2x+x²/2. Они равны 2−√2 и 2+√2. Оба узла положительны, но не равноотстоят от начала координат. Меньший узел имеет больший вес, поскольку основная масса экспоненциального веса находится ближе к нулю.

Условия точности можно проверить на f=1,x,x²,x³. Их точные взвешенные интегралы равны соответственно 1,1,2,6. Двухузловая сумма даёт те же четыре значения. Для x⁴ она уже даёт 20 вместо 24: степень точности три не означает малую ошибку для всех функций.

Вычислителю передают именно f, отделив экспоненту. Повторное умножение значений в узлах на e^(−x_i) ошибочно учитывает вес дважды. Например, интеграл e^(−x)x² вычисляется как сумма w_ix_i² и равен двум без дополнительного экспоненциального множителя.

Для интеграла e^(−βt)g(t)dt при β>0 положим x=βt. Тогда появляется коэффициент 1/β, а функция в узлах принимает значения g(x_i/β). Эта замена обеспечивает согласование масштаба затухания и не позволяет механически использовать те же физические координаты при изменении β.

Как пользоваться формулой

Выделите в интеграле вес exp(−x), оставив множитель f(x); проверьте границы от нуля до бесконечности и масштаб аргумента.
Вычислите два положительных узла 2−√2 и 2+√2, затем найдите значения только функции f, без повторного экспоненциального веса.
Умножьте значения на веса (2+√2)/4 и (2−√2)/4 соответственно, сохраняя правильное соответствие малого узла большому весу.
Сложите вклады и учтите якобиан, если делали замену переменной; сравните с точным моментом или формулой большего порядка.

Историческая справка

Квадратуры этого типа входят в традицию гауссова интегрирования: заданный вес определяет семейство ортогональных полиномов, а их корни служат узлами. Название Гаусса—Лагерра указывает на сочетание гауссова принципа выбора точек с полиномами Лагерра для экспоненциального веса на полуоси.

Современный справочник NIST DLMF в разделе 3.5 отдельно описывает гауссовы квадратуры и таблицы Лагерра. Это важно для практики: на бесконечных промежутках выбор веса является частью математической задачи. В отличие от простой замены конечных границ на большие числа, взвешенная квадратура сохраняет исходный интервал [0,∞) и переносит его влияние в узлы и коэффициенты.

Историческая линия формулы

Двойное название обозначает метод и семейство полиномов, а не совместную работу двух авторов над приведённым учебным примером. Конкретная двухузловая запись выводится из L₂ и точности моментов; современная нормировка весов приведена в справочном изложении NIST.

Пример

Найдём интеграл от e^(−x)x³ на [0,∞) двухточечной формулой. Здесь f(x)=x³; экспоненту в значения f не включаем. Узлы x₁≈0,58578644 и x₂≈3,41421356, веса w₁≈0,85355339 и w₂≈0,14644661. Подстановка: I₂=w₁(2−√2)³+w₂(2+√2)³=6. Это точное значение, поскольку степень f равна трём. Независимая проверка интегрированием по частям даёт I₃=3I₂, I₂=2I₁, I₁=I₀=1, следовательно I₃=6. Ответ: 6. Все координаты и экспоненциальный аргумент здесь безразмерны. Если заменить x³ на x⁴, квадратура даст 20 при точном значении 4!=24; относительная ошибка составит 1/6. Этот контроль показывает границу полиномиальной точности метода.

Частая ошибка

Не умножайте значения f в узлах на экспоненту второй раз: вес уже включён в w_i. Не переставляйте веса: малому узлу соответствует больший коэффициент. Не объявляйте любой интеграл точным из-за принадлежности к гауссовым квадратурам: при двух узлах гарантируется только степень три. Не забывайте 1/β после масштабирования экспоненты.

Практика

Задачи с решением

Квадратичный момент

Условие. Вычислите двухточечной формулой ∫₀∞e^(−x)x²dx.

Решение. w₁x₁²+w₂x₂²=2; степень множителя равна двум, поэтому квадратура точна.

Ответ. 2.

Другой масштаб

Условие. Вычислите ∫₀∞e^(−2t)t²dt заменой x=2t.

Решение. dt=dx/2, t²=x²/4. Интеграл равен (1/8)∫e^(−x)x²dx=2/8=1/4.

Ответ. 0,25.

Дополнительные источники

https://dlmf.nist.gov/3.5
https://dlmf.nist.gov/18.3

Связанные формулы

Математика

Квадратура Гаусса—Лежандра с двумя узлами

$G_2=\frac{b-a}{2}\left[f\!\left(m-\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)+f\!\left(m+\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)\right],\quad m=\frac{a+b}{2}$

Двухузловая квадратура Гаусса—Лежандра вычисляет функцию в двух специально выбранных внутренних точках. На конечном отрезке с единичным весом она точно интегрирует любой многочлен степени не выше трёх.

Математика

Квадратура Гаусса—Лежандра с тремя узлами

$\int_{-1}^{1}f(x)dx\approx\frac59f(-\sqrt{3/5})+\frac89f(0)+\frac59f(\sqrt{3/5})$

Квадратура Гаусса—Лежандра с тремя узлами даёт не только вычислительную запись, но и правило, какие данные определяют результат и как проверить его численно. Формула применяется к строго указанной модели; ниже разобраны предпосылки, два решённых задания и границы корректной интерпретации.

Математика

Интеграл методом Монте-Карло: среднее и ошибка

$\hat I_N=\frac{b-a}{N}\sum_{i=1}^N f(X_i),\quad X_i\overset{\mathrm{iid}}\sim U(a,b),\quad\widehat{\mathrm{SE}}=(b-a)\frac{s_f}{\sqrt N}$

Метод Монте-Карло оценивает интеграл как длину отрезка, умноженную на среднее значений функции в случайных равномерных точках. Разброс оценки измеряют стандартной ошибкой, которая при независимой выборке убывает как N⁻¹ᐟ².