Математика / Численное интегрирование

Квадратура Гаусса—Лежандра с тремя узлами

Квадратура Гаусса—Лежандра с тремя узлами даёт не только вычислительную запись, но и правило, какие данные определяют результат и как проверить его численно. Формула применяется к строго указанной модели; ниже разобраны предпосылки, два решённых задания и границы корректной интерпретации.

Опубликовано: 1 ноября 2026 г.Обновлено: 1 ноября 2026 г.

Формула

\int_{-1}^{1}f(x)dx\approx\frac59f(-\sqrt{3/5})+\frac89f(0)+\frac59f(\sqrt{3/5})

Схема Три узла Гаусса для f(x)=x⁴

Узлы отмечены на кривой. Веса слева направо: 5/9, 8/9, 5/9.

Обозначения

$x$: аргумент, состояние или вектор данных конкретной задачи, единицы исходной модели
$n,k,i,j$: целые индексы узла, шага либо компоненты, безразмерные
$ε / err$: допуск или оценка вычислительной ошибки, если она используется, единицы результата

Условия применения

Правило задано именно для отрезка [-1,1]; для [a,b] сначала выполните линейную замену переменной и умножьте на (b−a)/2. Функция должна быть интегрируема, а узлы и веса брать с указанными знаками; правило точно для полиномов степени не выше 5.

Ограничения

Результат нельзя переносить на похожую по словам, но другую модель. Оценка ошибки может быть локальной, а сходимость — зависеть от гладкости, обусловленности или начальных данных. Округление, вырождение матрицы и нарушения ограничений меняют смысл вычисления. Число после знака равенства не заменяет проверку: следует показать, какая именно формула применена, в каких единицах получен ответ и почему условия выполнены. Для информационных величин особенно важно не смешивать биты и натуральные единицы.

Подробное объяснение

Узлы ±√(3/5) и 0 не равномерны: это корни полинома Лежандра третьей степени. Вес 8/9 в центре больше крайних, поскольку симметричное правило должно точно воспроизводить интегралы низких степеней.

Точность до степени пять проверяется линейностью: достаточно проверить базис 1,x,…,x^5. На нечётных степенях пары противоположных узлов сокращаются, а на чётных веса дают верные моменты.

Для произвольного [a;b] сначала делают замену x=(a+b)/2+(b−a)t/2 и не забывают множитель (b−a)/2 перед суммой. Его потеря меняет не округление, а сам масштаб интеграла.

Квадратура не обязана быть точной для x^6 и более сложных функций. Разность с известным интегралом в примере показывает, что «гауссова» означает высокий конечный порядок точности, а не универсальную точность.

Для x^6 точный интеграл равен [x^7/7]_{−1}^{1}=2/7≈0,285714, а квадратура даёт 0,24; абсолютная ошибка равна 0,045714. Это ожидаемо: правило с тремя узлами имеет степень точности пять, поэтому пример x^6 не является противоречием. У нечётных степеней проверка проще: значения в симметричных узлах взаимно уничтожаются.

Как пользоваться формулой

Выпишите \int_{-1}^{1}f(x)dx\approx\frac59f(-\sqrt{3/5})+\frac89f(0)+\frac59f(\sqrt{3/5}) и отметьте искомую величину; не заменяйте её одноимённым параметром из другой модели.
Подготовьте данные в требуемой форме: проверьте индексы, знак, область аргумента, нормировку либо размерность.
Выполните первое задание по действиям и сохраните промежуточные значения каждого коэффициента, отношения или суммы.
Проверьте результат естественным способом: симметрией, точным частным случаем, невязкой или исходным ограничением.
Разберите второе задание: изменённые данные показывают границу применимости и предупреждают типичную ошибку метода.

Историческая справка

Карл Фридрих Гаусс в 1814 году исследовал квадратурные правила с оптимально выбранными узлами. Связь с полиномами Лежандра стала естественной, когда теорию ортогональных полиномов развили в XIX веке: их нули дают узлы, а веса подбираются для точности на полиномах. Трёхузловая формула точно интегрирует все полиномы степени до пяти, что отличает её от правила с равномерной сеткой. Современные таблицы обычно выводят её из ортогональности, а не запоминают отдельно.

Гаусс изложил принцип оптимальной квадратуры в работе 1814 года «Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi». Полиномы Лежандра, введённые Лежандром в конце XVIII века, позднее дали естественный язык для записи узлов и весов на [−1;1].

Историческая линия формулы

Название объединяет вклад Гаусса в квадратуры и полиномы, названные в честь Адриена-Мари Лежандра. Узлы трёхточечного правила — следствие общей теории ортогональных полиномов, а не самостоятельная формула одного автора. Источник в карточке указан для различения исторического имени, публикации и современной вычислительной формы; эти уровни не следует смешивать.

Пример

Для f(x)=x^4 формула даёт 2·(5/9)·(3/5)²=0,4, что в точности равно ∫_{−1}^{1}x^4dx=2/5. Для x^6 она даёт 2·(5/9)·(3/5)^3=0,24 вместо 2/7≈0,285714. Для x^6 точный интеграл равен [x^7/7]_{−1}^{1}=2/7≈0,285714, а квадратура даёт 0,24; абсолютная ошибка равна 0,045714. Это ожидаемо: правило с тремя узлами имеет степень точности пять, поэтому пример x^6 не является противоречием. У нечётных степеней проверка проще: значения в симметричных узлах взаимно уничтожаются. Узлы ±√(3/5) и 0 не равномерны: это корни полинома Лежандра третьей степени. Вес 8/9 в центре больше крайних, поскольку симметричное правило должно точно воспроизводить интегралы низких степеней.

Частая ошибка

Нельзя ставить узлы ±3/5 вместо ±√(3/5). Нельзя забывать центральный вес 8/9. При переносе на [a;b] обязательно умножение на (b−a)/2; одних новых узлов недостаточно. И не следует ожидать точности для степени шесть: предел степени пять — часть определения правила. В разборе «Квадратура Гаусса—Лежандра с тремя узлами» проверяют именно обозначения и условия данной записи.

Практика

Задачи с решением

Квадратура для x²

Условие. Примените правило к f(x)=x².

Решение. В двух крайних узлах x²=3/5, центральный вклад нулевой: 2·(5/9)·(3/5)=2/3.

Ответ. Интеграл равен 2/3.

Проверка суммы весов

Условие. Примените правило к постоянной 1.

Решение. Сумма весов 5/9+8/9+5/9=18/9=2.

Ответ. Интеграл равен 2.

Дополнительные источники

https://dlmf.nist.gov/3.5
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gauss/

Связанные формулы

Математика

Остаток интерполяции Лагранжа: оценка ошибки

$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{j=0}^{n}(x-x_j)$

Остаток интерполяции Лагранжа: оценка ошибки даёт не только вычислительную запись, но и правило, какие данные определяют результат и как проверить его численно. Формула применяется к строго указанной модели; ниже разобраны предпосылки, два решённых задания и границы корректной интерпретации.

Математика

Натуральный кубический сплайн: уравнения для вторых производных

$h_{i-1}M_{i-1}+2(h_{i-1}+h_i)M_i+h_iM_{i+1}=6(\delta_i-\delta_{i-1})$

Натуральный кубический сплайн: уравнения для вторых производных даёт не только вычислительную запись, но и правило, какие данные определяют результат и как проверить его численно. Формула применяется к строго указанной модели; ниже разобраны предпосылки, два решённых задания и границы корректной интерпретации.

Математика

Аппроксимант Паде [1/1]: дробное приближение ряда

$[1/1]_{e^x}(x)=\frac{1+x/2}{1-x/2}$

Аппроксимант Паде [1/1]: дробное приближение ряда даёт не только вычислительную запись, но и правило, какие данные определяют результат и как проверить его численно. Формула применяется к строго указанной модели; ниже разобраны предпосылки, два решённых задания и границы корректной интерпретации.