Математика / Интерполяция
Остаток интерполяции Лагранжа: оценка ошибки
Остаток интерполяции Лагранжа: оценка ошибки даёт не только вычислительную запись, но и правило, какие данные определяют результат и как проверить его численно. Формула применяется к строго указанной модели; ниже разобраны предпосылки, два решённых задания и границы корректной интерпретации.
Формула
Хорда лежит выше выпуклой экспоненты; в узлах ошибки нет.
Обозначения
- $x$
- аргумент, состояние или вектор данных конкретной задачи, единицы исходной модели
- $n,k,i,j$
- целые индексы узла, шага либо компоненты, безразмерные
- $ε / err$
- допуск или оценка вычислительной ошибки, если она используется, единицы результата
Условия применения
Формула действует для функции, имеющей непрерывную производную порядка n+1 на отрезке, содержащем узлы и точку x; узлы должны быть различными. Для верхней границы замените модуль f^(n+1)(xi) максимумом на всём отрезке, а произведение считайте без преждевременного округления.
Ограничения
Результат нельзя переносить на похожую по словам, но другую модель. Оценка ошибки может быть локальной, а сходимость — зависеть от гладкости, обусловленности или начальных данных. Округление, вырождение матрицы и нарушения ограничений меняют смысл вычисления. Число после знака равенства не заменяет проверку: следует показать, какая именно формула применена, в каких единицах получен ответ и почему условия выполнены. Для информационных величин особенно важно не смешивать биты и натуральные единицы.
Подробное объяснение
Произведение (x−x_j) обращается в нуль в каждом узле. Поэтому остаток обязан исчезнуть там же, хотя между узлами его величина определяется одновременно расстоянием до всех точек и неизвестной производной порядка n+1.
Фактор 1/(n+1)! не «улучшает» любую интерполяцию сам по себе: рост производной может его перекрыть. Именно поэтому оценка полезна как верхняя граница при известной гладкости, а не как готовая ошибка без анализа функции.
Если x приближается к одному из x_j, произведение уменьшается. Но на широком отрезке и при неудачных равномерных узлах его максимум может стать большим; отсюда интерес к узлам Чебышёва.
В задаче разумно считать и оценку, и фактическую ошибку, если точное значение доступно. Их не нужно требовать равными: точка ξ неизвестна, поэтому остаток обычно лишь ограничивает модуль.
В середине линейный интерполянт равен (1+e)/2≈1,859141, тогда как e^{0,5}≈1,648721. Знак ошибки отрицателен: график экспоненты выпуклый, поэтому хорда лежит выше графика. В четверти отрезка L(0,25)=0,75+0,25e≈1,429570, что даёт указанную разность.
Как пользоваться формулой
- Выпишите R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{j=0}^{n}(x-x_j) и отметьте искомую величину; не заменяйте её одноимённым параметром из другой модели.
- Подготовьте данные в требуемой форме: проверьте индексы, знак, область аргумента, нормировку либо размерность.
- Выполните первое задание по действиям и сохраните промежуточные значения каждого коэффициента, отношения или суммы.
- Проверьте результат естественным способом: симметрией, точным частным случаем, невязкой или исходным ограничением.
- Разберите второе задание: изменённые данные показывают границу применимости и предупреждают типичную ошибку метода.
Историческая справка
Формула Лагранжа появилась в XVIII веке в исследованиях Жозефа-Луи Лагранжа по алгебраическим функциям. Остаточный член в форме с неизвестной точкой ξ стал стандартным после развития дифференциального исчисления и теоремы о среднем. В XIX–XX веках именно он позволил отделить факт совпадения в узлах от контроля между узлами. Современный курс численного анализа пишет произведение (x−x_j) явно, потому что оно показывает опасность плохого расположения узлов.
В 1859 году Чебышёв связал равномерное приближение с чередованием ошибок, а позднейшая теория интерполяции сделала остаток основным средством сравнения сеток. Для точной формулировки используют теорему о среднем для разделённых разностей; современное изложение приведено в разделе 3.3 DLMF.
Историческая линия формулы
Имя Лагранжа относится к форме интерполяционного полинома. Оценка остатка использует результаты дифференциального исчисления и не является отдельным единоличным открытием; её корректно связывать с общей традицией анализа XVIII–XIX веков. Источник в карточке указан для различения исторического имени, публикации и современной вычислительной формы; эти уровни не следует смешивать.
Пример
Для f(x)=e^x на [0;1] берут узлы 0 и 1 и оценивают линейную интерполяцию в середине: |R_1(0,5)|≤e·0,25/2≈0,339785. Реальная ошибка e^{0,5}−(1+e)/2≈−0,210420. В середине линейный интерполянт равен (1+e)/2≈1,859141, тогда как e^{0,5}≈1,648721. Знак ошибки отрицателен: график экспоненты выпуклый, поэтому хорда лежит выше графика. В четверти отрезка L(0,25)=0,75+0,25e≈1,429570, что даёт указанную разность. Произведение (x−x_j) обращается в нуль в каждом узле. Поэтому остаток обязан исчезнуть там же, хотя между узлами его величина определяется одновременно расстоянием до всех точек и неизвестной производной порядка n+1.
Частая ошибка
Нельзя подменять модуль остатка его знаком: формула с ξ оценивает величину, а знак определяется функцией и расположением x. Нельзя брать максимум f^(n+1) только в одном узле. Нельзя считать e на отрезке [0;1] равным e^0 или e^1 в каждом x. И, наконец, степень полинома равна числу узлов минус один, а не числу узлов. В разборе «Остаток интерполяции Лагранжа: оценка ошибки» проверяют именно обозначения и условия данной записи.
Практика
Задачи с решением
Граница остатка при x=0,25
Условие. Докажите границу при x=0,25 для f(x)=e^x на [0;1].
Решение. |R_1(0,25)|≤e·|0,25·(−0,75)|/2=e·0,1875/2≈0,254839. Производная f″(ξ)=e^ξ не превосходит e на [0;1].
Ответ. |R_1(0,25)|≤0,254839.
Фактическая ошибка интерполяции
Условие. Найдите фактическую ошибку линейной интерполяции e^x в x=0,25.
Решение. L(0,25)=0,75+0,25e≈1,429570; e^0,25≈1,284025. Поэтому e^0,25−L(0,25)≈−0,145545.
Ответ. Ошибка ≈−0,145545.
Дополнительные источники
- https://dlmf.nist.gov/3.3
- https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lagrange/
Связанные формулы
Математика
Натуральный кубический сплайн: уравнения для вторых производных
Натуральный кубический сплайн: уравнения для вторых производных даёт не только вычислительную запись, но и правило, какие данные определяют результат и как проверить его численно. Формула применяется к строго указанной модели; ниже разобраны предпосылки, два решённых задания и границы корректной интерпретации.
Математика
Аппроксимант Паде [1/1]: дробное приближение ряда
Аппроксимант Паде [1/1]: дробное приближение ряда даёт не только вычислительную запись, но и правило, какие данные определяют результат и как проверить его численно. Формула применяется к строго указанной модели; ниже разобраны предпосылки, два решённых задания и границы корректной интерпретации.
Математика
Квадратура Гаусса—Лежандра с тремя узлами
Квадратура Гаусса—Лежандра с тремя узлами даёт не только вычислительную запись, но и правило, какие данные определяют результат и как проверить его численно. Формула применяется к строго указанной модели; ниже разобраны предпосылки, два решённых задания и границы корректной интерпретации.