Все формулы РФ

Математика / Интерполяция

Аппроксимант Паде [1/1]: дробное приближение ряда

Аппроксимант Паде [1/1]: дробное приближение ряда даёт не только вычислительную запись, но и правило, какие данные определяют результат и как проверить его численно. Формула применяется к строго указанной модели; ниже разобраны предпосылки, два решённых задания и границы корректной интерпретации.

Опубликовано: Обновлено:

ИнтерполяцияСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаДиагностика условий

Формула

$$[1/1]_{e^x}(x)=\frac{1+x/2}{1-x/2}$$
Схема Паде [1/1] для экспоненты
Паде [1/1] для экспонентыПаде [1/1] для экспонентыeˣ(1+x/2)/(1−x/2)-10-0.50.801.60.52.413.2xy

Показан диапазон вдали от полюса x=2; аппроксимант совпадает с рядом до x².

Обозначения

$x$
аргумент, состояние или вектор данных конкретной задачи, единицы исходной модели
$n,k,i,j$
целые индексы узла, шага либо компоненты, безразмерные
$ε / err$
допуск или оценка вычислительной ошибки, если она используется, единицы результата

Условия применения

Запись [1/1] для e^x согласует разложение до членов заданного порядка около x=0 и требует 1−x/2 не равно нулю. Это локальное рациональное приближение, а не тождество на всей оси; при приближении к полюсу ошибка может резко вырасти.

Ограничения

Результат нельзя переносить на похожую по словам, но другую модель. Оценка ошибки может быть локальной, а сходимость — зависеть от гладкости, обусловленности или начальных данных. Округление, вырождение матрицы и нарушения ограничений меняют смысл вычисления. Число после знака равенства не заменяет проверку: следует показать, какая именно формула применена, в каких единицах получен ответ и почему условия выполнены. Для информационных величин особенно важно не смешивать биты и натуральные единицы.

Подробное объяснение

Аппроксимант Паде заменяет полином отношением двух полиномов. Для e^x дробь (1+x/2)/(1−x/2) совпадает с рядом до квадратичного члена, но ведёт себя иначе вдали от нуля.

Коэффициенты определяют не подбором по точкам, а требованием, чтобы Q(x)f(x)−P(x) имело как можно более высокий порядок малого при x=0. Это отличает метод от интерполяции.

Знаменатель создаёт новую опасность: около x=2 у этого конкретного приближения есть полюс, хотя у e^x его нет. Поэтому рациональная форма не имеет права использоваться вне разумной области без проверки.

Сравнение с укороченным рядом показывает практический мотив: при одинаковом числе коэффициентов дробь иногда точнее отражает кривизну. Однако выбор степени [m/n] зависит от функции и цели расчёта.

Проверка ряда выполняется умножением: (1−x/2)e^x=1+x/2+O(x³). Значит числитель 1+x/2 оставляет ошибку третьего порядка. При x=0,4 знаменатель 0,8 далёк от нуля, поэтому вычисление устойчиво; при x=1,9 он равен 0,05, и такой контроль сразу предупреждает о плохом масштабе.

Как пользоваться формулой

  1. Выпишите [1/1]_{e^x}(x)=\frac{1+x/2}{1-x/2} и отметьте искомую величину; не заменяйте её одноимённым параметром из другой модели.
  2. Подготовьте данные в требуемой форме: проверьте индексы, знак, область аргумента, нормировку либо размерность.
  3. Выполните первое задание по действиям и сохраните промежуточные значения каждого коэффициента, отношения или суммы.
  4. Проверьте результат естественным способом: симметрией, точным частным случаем, невязкой или исходным ограничением.
  5. Разберите второе задание: изменённые данные показывают границу применимости и предупреждают типичную ошибку метода.

Историческая справка

Анри Паде опубликовал систематическое исследование рациональных приближений в 1892 году. Идея состояла в том, чтобы подбирать числитель и знаменатель так, чтобы разложение их отношения совпадало с рядом функции на возможно большем числе первых степеней. В XX веке аппроксиманты Паде стали важны для специальных функций и вычислений, где полином недостаточно хорошо отражает поведение около полюса. Обозначение [m/n] закрепилось как указание степеней числителя и знаменателя.

Паде представил таблицу рациональных приближений в статье «Sur la représentation approchée d’une fonction par des fractions rationnelles» в 1892 году. В отличие от простого усечения ряда его конструкция организует приближения по степеням числителя и знаменателя, что и сохранилось в индексе [m/n].

Историческая линия формулы

Фамилия Паде оправдана его работой 1892 года о систематизации рациональных приближений. При этом конкретный [1/1] для e^x получается прямым сопоставлением коэффициентов ряда и не требует приписывать ему отдельное историческое происхождение. Источник в карточке указан для различения исторического имени, публикации и современной вычислительной формы; эти уровни не следует смешивать.

Пример

Для x=0,4 аппроксимант [1/1] к e^x равен 1,2/0,8=1,5. Точное e^{0,4}≈1,491825, абсолютная ошибка ≈0,008175. Квадратичный ряд 1+0,4+0,4²/2=1,48 даёт ошибку ≈0,011825. Проверка ряда выполняется умножением: (1−x/2)e^x=1+x/2+O(x³). Значит числитель 1+x/2 оставляет ошибку третьего порядка. При x=0,4 знаменатель 0,8 далёк от нуля, поэтому вычисление устойчиво; при x=1,9 он равен 0,05, и такой контроль сразу предупреждает о плохом масштабе. Аппроксимант Паде заменяет полином отношением двух полиномов. Для e^x дробь (1+x/2)/(1−x/2) совпадает с рядом до квадратичного члена, но ведёт себя иначе вдали от нуля.

Частая ошибка

Ошибка — считать [1/1] полиномом второй степени: это дробь, у которой есть знаменатель. Нельзя использовать значение в точке, где 1−x/2=0. Не следует сравнивать только абсолютные ошибки без указания области x. Наконец, совпадение нескольких коэффициентов ряда около нуля не доказывает точность на всём интервале. В разборе «Аппроксимант Паде [1/1]: дробное приближение ряда» проверяют именно обозначения и условия данной записи.

Практика

Задачи с решением

Подстановка в аппроксимант [1/1]

Условие. Вычислите [1/1] для e^x при x=0,2.

Решение. (1+0,2/2)/(1−0,2/2)=1,1/0,9=1,222222….

Ответ. ≈1,222222.

Сравнение с точным e^0,2

Условие. Сравните с e^0,2.

Решение. e^0,2≈1,221403; разность 1,222222…−1,221403≈0,000819.

Ответ. Абсолютная ошибка ≈0,000819.

Дополнительные источники

  • https://numdam.org/articles/10.24033/asens.378/
  • https://doi.org/10.1017/CBO9780511530074

Связанные формулы

Математика

Остаток интерполяции Лагранжа: оценка ошибки

$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{j=0}^{n}(x-x_j)$

Остаток интерполяции Лагранжа: оценка ошибки даёт не только вычислительную запись, но и правило, какие данные определяют результат и как проверить его численно. Формула применяется к строго указанной модели; ниже разобраны предпосылки, два решённых задания и границы корректной интерпретации.

Математика

Натуральный кубический сплайн: уравнения для вторых производных

$h_{i-1}M_{i-1}+2(h_{i-1}+h_i)M_i+h_iM_{i+1}=6(\delta_i-\delta_{i-1})$

Натуральный кубический сплайн: уравнения для вторых производных даёт не только вычислительную запись, но и правило, какие данные определяют результат и как проверить его численно. Формула применяется к строго указанной модели; ниже разобраны предпосылки, два решённых задания и границы корректной интерпретации.

Математика

Квадратура Гаусса—Лежандра с тремя узлами

$\int_{-1}^{1}f(x)dx\approx\frac59f(-\sqrt{3/5})+\frac89f(0)+\frac59f(\sqrt{3/5})$

Квадратура Гаусса—Лежандра с тремя узлами даёт не только вычислительную запись, но и правило, какие данные определяют результат и как проверить его численно. Формула применяется к строго указанной модели; ниже разобраны предпосылки, два решённых задания и границы корректной интерпретации.