Все формулы РФ

Математика / Вероятность и статистика

Нормальная аппроксимация биномиальной схемы

Нормальная аппроксимация заменяет биномиальную сумму площадью под нормальной кривой с теми же средним и дисперсией. Поправка на непрерывность сдвигает целые границы на половину шага.

Опубликовано: Обновлено:

Ручной расчетСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаДиагностика условий

Формула

$$\Pr(a\le X\le b)\approx\Phi\!\left(\frac{b+1/2-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-1/2-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$$
Схема Нормальная кривая для биномиальной суммы
206000.0945.5ПлотностьЧисло успехов, непрерывная шкала

Нормальная плотность с μ=40, σ=√24. Вертикальная линия показывает верхнюю исправленную границу 45,5; нижняя симметрична относительно 40.

Обозначения

$n$
число испытаний, шт.
$p$
вероятность успеха, доля
$a,b$
целые включённые границы интервала успехов, шт.
$Φ$
функция распределения стандартной нормали, доля
$np,np(1−p)$
среднее и дисперсия биномиальной величины, счёт и квадрат счёта

Условия применения

X имеет биномиальный закон с независимыми испытаниями и постоянным 0<p<1. Целые a,b задают включённые границы. Значения np и n(1−p) должны быть достаточно велики для приемлемого приближения; универсального порога, гарантирующего любую заданную ошибку, нет.

Ограничения

При очень редком успехе или крайнем хвосте относительная ошибка может быть существенной. Поправка 0,5 улучшает согласование дискретной массы с площадью, но не превращает приближение в точное равенство. Уровень приемлемой ошибки нужно оценивать отдельно, особенно в задачах принятия решений.

Подробное объяснение

Биномиальная X складывает n индикаторов успеха, поэтому при достаточно большом числе испытаний её форма приближается к нормальной. Центр np и разброс √(npq) сохраняются, но дискретные столбцы заменяются непрерывной площадью. Поправка 0.5 расширяет границы каждого целого значения.

Условие «большого n» не является магическим числом: обычно проверяют np и nq, чтобы в обеих категориях было достаточно ожидаемых наблюдений. При p близком к нулю или единице симметрия плохая, и точный биномиальный расчёт предпочтительнее.

Формула возвращает приближение, а не новую случайную величину. Ошибка зависит от границ и асимметрии исходного распределения. Для хвостовых вероятностей разница между точным и приближённым ответом может быть существенной; поправка на непрерывность уменьшает, но не устраняет её.

На практике сначала вычисляют μ и σ, затем переводят обе целочисленные границы в 34.5-подобные значения и только после этого обращаются к таблице Φ или функции нормального CDF. Округление z до двух знаков допустимо лишь в учебной оценке.

Как пользоваться формулой

  1. Выпишите n,p и целые включённые границы a,b; вычислите μ=np и σ=√(np(1−p)), проверив ненулевой разброс.
  2. Замените нижнюю границу на a−0,5, верхнюю на b+0,5, чтобы включить полные ячейки всех целых значений интервала.
  3. Стандартизуйте обе границы делением разности с μ на σ и найдите Φ в каждой точке без раннего округления z.
  4. Вычтите нижнюю функцию распределения из верхней и при возможности сравните с точной суммой биномиальных вероятностей.

Историческая справка

Нормальная аппроксимация возникла из центральной предельной идеи XVIII–XIX веков: суммы малых независимых вкладов приобретают колоколообразную форму. Де Муавр получил раннее приближение биномиальных коэффициентов, а Лаплас расширил его для вероятностных задач. Позднее центральная предельная теорема дала общий язык для таких переходов.

Поправка на непрерывность появилась как практический способ сопоставить дискретную массу целого k с интервалом [k−0.5,k+0.5] под кривой. Современные статистические руководства используют именно такую запись для интервалов биномиальной суммы. Это коллективное развитие теории, а не формула одного автора. Практическое значение метода состоит в согласовании дискретной модели с непрерывной оценкой без утраты смысла исходных событий.

Историческая линия формулы

Аппроксимация связана с теоремой де Муавра—Лапласа и развитием предельной теории сумм независимых величин. Поправка на непрерывность согласует целые значения с непрерывной плотностью; это часть процедуры приближения, а не изменение исходного биномиального закона.

Пример

Пусть X~Bin(100;0,4), требуется P(35≤X≤45). Среднее μ=40, дисперсия 24, σ=√24≈4,89897949. Исправленные границы 34,5 и 45,5 дают z₁≈−1,12268280 и z₂≈1,12268280. По стандартной нормальной функции Φ(z₂)≈0,86921388, Φ(z₁)≈0,13078612. Их разность приблизительно 0,73842776. Ответ: нормальная оценка около 73,84%; это не точная биномиальная масса. Проверка симметрии: исправленные границы удалены от μ на 5,5 в обе стороны, поэтому площадь равна 2Φ(5,5/√24)−1. Проверка направления сдвига: интервал включает 11 целых чисел, и каждый должен получить полную ячейку ширины 1; без половинных поправок площадь была бы занижена.

Частая ошибка

Не используйте одинаковое направление сдвига обеих границ. Не путайте стандартное отклонение √(npq) с дисперсией npq. Не выдавайте нормальную оценку за точную биномиальную вероятность. Не применяйте центральное приближение к далёкому хвосту только из-за большого n.

Практика

Задачи с решением

Интервал успехов

Условие. X~Bin(100,0.4). Оцените P(35≤X≤45).

Решение. μ=40, σ=√24, исправленные границы 34,5 и 45,5. Площадь равна 2Φ(5,5/√24)−1≈0,73843.

Ответ. Приблизительно 0,73843.

Верхний хвост

Условие. X~Bin(200,0.3). Оцените P(X≥70).

Решение. μ=60,σ=√42. Нижняя непрерывная граница 69,5 даёт z=9,5/√42≈1,46588. Хвост 1−Φ(z)≈0,07134024.

Ответ. Приблизительно 0,07134.

Дополнительные источники

  • https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/TechnicalNotes/NIST.TN.2119.pdf
  • https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.binom.html

Связанные формулы

Математика

Вероятность в биномиальном распределении

$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$

Формула «Вероятность в биномиальном распределении» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Аналитика

Статистика Стьюдента для среднего при неизвестной дисперсии

$t=(\bar{x}−\mu_0)/(s/\sqrt{n})$

Одновыборочная t-статистика сравнивает среднее с проверяемым значением, когда дисперсия совокупности неизвестна. Разность средних делится на стандартную ошибку, оценённую по выборке.

Аналитика

Интервал Вильсона для биномиальной доли

$\frac{\hat p+z^2/(2n)\pm z\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n+z^2/(4n^2)}}{1+z^2/n}$

Интервал Вильсона оценивает неизвестную вероятность успеха по числу успехов в независимых испытаниях. Его границы получают обращением score-теста, и они остаются в допустимом диапазоне вероятностей.