Аналитика / Статистические выводы

Статистика Стьюдента для среднего при неизвестной дисперсии

Одновыборочная t-статистика сравнивает среднее с проверяемым значением, когда дисперсия совокупности неизвестна. Разность средних делится на стандартную ошибку, оценённую по выборке.

Опубликовано: 6 ноября 2026 г.Обновлено: 6 ноября 2026 г.

Формула

t=(\bar{x}−\mu_0)/(s/\sqrt{n})

Схема Плотность t с восемью степенями свободы

Плотность t₈: 105/(96√8)·(1+t²/8)^(−9/2). Вертикальная линия отмечает наблюдаемое t=2,4.

Обозначения

$x̄$: выборочное среднее, единицы измерений
$μ₀$: среднее в нулевой гипотезе, те же единицы
$s$: стандартное отклонение выборки с делителем n−1, единицы измерений
$n$: число наблюдений, шт.
$t$: стандартизованная разность средних, безразмерно

Условия применения

Для точного t-распределения наблюдения независимы и получены из нормальной совокупности с неизвестной дисперсией. Число n≥2, s>0. Приближённое применение к ненормальной совокупности требует отдельного обоснования по объёму выборки и отсутствию сильных выбросов.

Ограничения

Зависимые измерения меняют стандартную ошибку, а выбросы могут существенно менять x̄ и s. Нулевая s не позволяет делить по формуле. Само значение t не является вероятностью; выбор одностороннего или двустороннего теста должен соответствовать заранее сформулированной альтернативе.

Подробное объяснение

Статистика Стьюдента стандартизует разность между выборочным средним и проверяемым μ0, деля её на оценённую стандартную ошибку. В знаменателе стоит s, а не известное σ, поэтому дополнительная неопределённость описывается t-распределением с ν=n−1 степенями свободы.

При малом n хвосты t-распределения тяжелее нормальных: редкие большие значения встречаются чаще. По мере роста ν оно приближается к стандартной нормали. Это объясняет, почему нельзя автоматически брать z-критическое значение, когда σ неизвестна.

Одновыборочный t-тест предполагает независимые наблюдения и приблизительную нормальность исходной совокупности, особенно при малой выборке. Сильные выбросы и зависимые измерения нарушают интерпретацию s и критических значений.

Алгоритм прост: вычислить x̄, s и t, определить ν, выбрать одностороннюю или двустороннюю альтернативу и сравнить с таблицей либо p-value. Само значение t не является вероятностью и не должно записываться как процент.

Как пользоваться формулой

Задайте проверяемое μ₀ и альтернативу, проверьте независимость наблюдений и вычислите среднее выборки в исходных единицах.
Найдите s с делителем n−1 и стандартную ошибку s/√n; при нулевом s обычная t-статистика не определена.
Разделите x̄−μ₀ на стандартную ошибку, сохранив знак разности и n−1 степеней свободы для распределения сравнения.
Выберите критическую область согласно альтернативе и уровню ошибки; отдельно сообщите размер эффекта и ограничения модели.

Историческая справка

В 1908 году Уильям Сили Госсе опубликовал работу о малых выборках под псевдонимом Student. Его результат описал распределение стандартизованного среднего при неизвестной дисперсии нормальной совокупности. Позднее метод вошёл в общую математическую статистику и получил имя t-распределения.

Современная запись объединяет идею оценки дисперсии по выборке и точное распределение отношения нормальной величины к корню из независимой хи-квадрат-величины. Поэтому атрибуция «формула Стьюдента» допустима как историческое сокращение, но условия метода сформировались в более широкой традиции статистики. При неизвестной дисперсии её оценка сама случайна, поэтому распределение статистики зависит от объёма выборки через число степеней свободы.

Историческая линия формулы

t-распределение связано с работой Уильяма Сили Госсета, опубликованной под именем Student в 1908 году. Здесь рассматривается одновыборочная статистика среднего, а не все варианты t-тестов. Современное изложение явно задаёт оценку дисперсии и число степеней свободы.

Пример

Девять измерений дали x̄=12.4, выборочное s=3, проверяется μ0=10. Стандартная ошибка s/√n=3/3=1. Тогда t=(12.4−10)/1=2.4, число степеней свободы ν=8. Для двустороннего уровня 5% критическое |t|≈2.306; так как 2.4>2.306, нулевая гипотеза отвергается в этой учебной проверке. Единицы сокращаются: t безразмерна. Отдельно проверим знаменатель: девять измерений дают √n=3, поэтому стандартная ошибка равна 1 единице измерения. Следовательно, числитель 2.4 сохраняется без пересчёта масштаба; только затем сравниваем модуль t с критическим значением для ν=8.

Частая ошибка

Не делите на s вместо s/√n. Не используйте генеральную дисперсию и выборочную оценку как взаимозаменяемые исходные данные. Не сравнивайте двустороннее решение с односторонним критическим значением. Не трактуйте t=2,4 как вероятность или процент уверенности.

Практика

Задачи с решением

Проверка среднего

Условие. x̄=12.4,s=3,n=9,μ0=10.

Решение. SE=3/√9=1; t=(12.4−10)/1=2.4; ν=8.

Ответ. t=2.4; при двустороннем 5% тесте |t|>2.306.

Другой знак

Условие. x̄=98,s=6,n=16,μ0=100.

Решение. SE=6/4=1.5; t=(98−100)/1.5=−1.3333; ν=15.

Ответ. t≈−1.3333; знак показывает среднее ниже μ0.

Дополнительные источники

https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman1/auxillar/t_test.htm
https://doi.org/10.1093/biomet/6.1.1

Связанные формулы

Аналитика

Интервал Вильсона для биномиальной доли

$\frac{\hat p+z^2/(2n)\pm z\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n+z^2/(4n^2)}}{1+z^2/n}$

Интервал Вильсона оценивает неизвестную вероятность успеха по числу успехов в независимых испытаниях. Его границы получают обращением score-теста, и они остаются в допустимом диапазоне вероятностей.

Математика

Нормальная аппроксимация биномиальной схемы

$\Pr(a\le X\le b)\approx\Phi\!\left(\frac{b+1/2-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-1/2-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$

Нормальная аппроксимация заменяет биномиальную сумму площадью под нормальной кривой с теми же средним и дисперсией. Поправка на непрерывность сдвигает целые границы на половину шага.

Аналитика

Неравенство DKW: полоса для эмпирической функции распределения

$\Pr\!\left(\sup_x|F_n(x)-F(x)|>\varepsilon\right)\le2e^{-2n\varepsilon^2}$

Неравенство Дворецкого—Кифера—Вольфовица ограничивает максимальную ошибку эмпирической функции распределения сразу по всем x. Правая часть зависит только от размера независимой выборки и ширины полосы.