Аналитика / Статистические выводы

Интервал Вильсона для биномиальной доли

Интервал Вильсона оценивает неизвестную вероятность успеха по числу успехов в независимых испытаниях. Его границы получают обращением score-теста, и они остаются в допустимом диапазоне вероятностей.

Опубликовано: 6 ноября 2026 г.Обновлено: 6 ноября 2026 г.

Формула

\frac{\hat p+z^2/(2n)\pm z\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n+z^2/(4n^2)}}{1+z^2/n}

Схема Два интервала Вильсона

При z=1,96:18/20 дают[0,69896;0,97213],5/10 —[0,23659;0,76341]. Точки обозначают наблюдаемые доли.

Обозначения

$n$: число независимых испытаний, шт.
$x$: число успехов, шт.
$p̂=x/n$: наблюдаемая доля успехов, доля
$z$: положительный квантиль стандартной нормали1−α/2, безразмерно
$α$: номинальная вероятность непокрытия, доля

Условия применения

Счётчик x биномиален: испытания независимы и имеют постоянную вероятность успеха. Целые n>0 и 0≤x≤n. Для двустороннего уровня 1−α используется положительный z=z_(1−α/2). Формула является интервальной процедурой с приближённым покрытием, а не точным биномиальным интервалом.

Ограничения

При зависимых или неодинаково вероятных наблюдениях биномиальная модель может быть неверной. Номинальное покрытие не означает, что фиксированный неизвестный p после наблюдения имеет распределение с этой вероятностью. Интервал Вильсона отличается от точного интервала Клоппера—Пирсона и от скорректированного интервала Вальда.

Подробное объяснение

Обычная симметричная оценка использует стандартную ошибку при наблюдаемой доле p̂. Вильсон обращает тест, в котором дисперсия зависит от проверяемого p, и решает квадратное неравенство относительно допустимых значений p. Отсюда возникают общий знаменатель и поправки z².

Центр интервала равен(p̂+z²/(2n))/(1+z²/n). Он смещается к 1/2 относительно p̂, причём с ростом n это смещение уменьшается. Это не произвольное усреднение с половиной, а результат алгебраического решения score-неравенства.

Ширина учитывает и p̂(1−p̂)/n, и дополнительный член z²/(4n²). Поэтому при нулевых или всех успешных наблюдениях интервал не схлопывается в точку, как наивная оценка стандартной ошибки по p̂. Само отсутствие наблюдённых ошибок не доказывает нулевую истинную вероятность.

При x=18,n=20,z=1,96 границы примерно 0,69896 и 0,97213. Они несимметричны относительно 0,9. Значения около 0,697 и 0,978 из грубого или ошибочного вычисления корня не являются тем же результатом; промежуточные выражения стоит сохранять до окончательного деления.

Интерпретация доверия относится к повторному применению процедуры при одной и той же истинной доле. Она не превращает p в случайную величину без задания отдельной байесовской модели. Для решения прикладной задачи дополнительно рассматривают схему выборки и возможные систематические смещения.

Как пользоваться формулой

Запишите число независимых испытаний n и успехов x, проверьте 0≤x≤n и вычислите наблюдаемую долю p̂=x/n.
Выберите двусторонний уровень доверия и положительный квантиль z; для примерно 95% можно использовать z=1,96.
Отдельно вычислите общий знаменатель, центр числителя и корень; сформируйте нижний и верхний числители до деления.
Разделите обе границы на 1+z²/n и округлите только итог; проверьте порядок границ и их принадлежность[0,1].

Историческая справка

Эдвин Бидуэлл Вильсон предложил метод в 1927 году; современный справочник NIST описывает его через обращение теста для пропорции. Такой подход отличается от механического построения симметричных границ вокруг наблюдаемой доли.

В последующих статистических исследованиях сравнивали покрытие разных биномиальных интервалов, особенно возле 0 и 1 и при малых выборках. NIST отдельно уточняет терминологию: метод Вильсона и близкий скорректированный метод Вальда Агрэсти—Кулла не следует считать одной и той же формулой. Исторический контекст важен для воспроизводимости: одинаковое словесное описание «улучшенный интервал для доли» может скрывать разные процедуры с различными численными границами.

Историческая линия формулы

Метод связывают с Вильсоном и публикацией 1927 года. Приведённая запись является score-интервалом и не подменяет его другим способом добавления псевдосчётчиков. Терминологические уточнения NIST помогают отличать формулу Вильсона от скорректированного Вальда.

Пример

В 20 независимых испытаниях получено 18 успехов, p̂=0,9. Для двусторонней 95%-ной процедуры возьмём z=1,96, z²=3,8416. Общий знаменатель D=1+3,8416/20=1,19208. Центр числителя A=0,9+3,8416/40=0,99604. Подкоренное выражение 0,9·0,1/20+3,8416/1600=0,006901, корень≈0,08307226. Тогда границы(A±1,96·0,08307226)/D равны примерно 0,69896179 и 0,97213411. Ответ: интервал[0,69896;0,97213]. Проверка: обе границы лежат между 0 и 1, а p̂=0,9 внутри. Центр интервала≈0,83555 ниже наблюдаемой доли, что согласуется со смещением к 1/2 при небольшой выборке. Интервал сообщает неопределённость оценки, а не долю будущих выборок с ровно 18 успехами.

Частая ошибка

Не теряйте общий знаменатель у обеих границ. Не округляйте корень до двух знаков перед умножением на z. Не называйте интервал точным биномиальным без дополнительных оговорок. Не трактуйте уровень доверия как апостериорную вероятность неизвестного p без отдельной вероятностной модели параметра.

Практика

Задачи с решением

Половина успехов

Условие. x=5,n=10,z=1,96. Найдите границы Вильсона.

Решение. p̂=0,5, центр после деления равен 0,5; полуширина≈0,26341041.

Ответ. Примерно[0,23658959;0,76341041].

Ноль успехов

Условие. x=0,n=10,z=1,96. Найдите границы.

Решение. Нижняя граница 0. Верхняя равна z²/(n+z²)=3,8416/13,8416≈0,27754017.

Ответ. Примерно[0;0,27754017].

Дополнительные источники

https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section2/prc241.htm
https://doi.org/10.1080/01621459.1927.10502953

Связанные формулы

Математика

Вероятность в биномиальном распределении

$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$

Формула «Вероятность в биномиальном распределении» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Нормальная аппроксимация биномиальной схемы

$\Pr(a\le X\le b)\approx\Phi\!\left(\frac{b+1/2-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-1/2-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$

Нормальная аппроксимация заменяет биномиальную сумму площадью под нормальной кривой с теми же средним и дисперсией. Поправка на непрерывность сдвигает целые границы на половину шага.

Аналитика

Неравенство DKW: полоса для эмпирической функции распределения

$\Pr\!\left(\sup_x|F_n(x)-F(x)|>\varepsilon\right)\le2e^{-2n\varepsilon^2}$

Неравенство Дворецкого—Кифера—Вольфовица ограничивает максимальную ошибку эмпирической функции распределения сразу по всем x. Правая часть зависит только от размера независимой выборки и ширины полосы.