Физика / Молекулярная физика

Оставшееся число ядер через период полураспада

Число нераспавшихся ядер уменьшается вдвое за каждый период полураспада. Формула N = N₀ · 2^(−t/T) позволяет найти ожидаемый остаток по начальному числу ядер, времени и периоду данного изотопа.

Опубликовано: 15 сентября 2026 г.Обновлено: 23 сентября 2026 г.

Формула

N=N_0\left(\frac12\right)^{t/T}

Схема Остаток после каждого периода

Начало: N₀. Через T: N₀/2. Через 2T: N₀/4. Через 3T: N₀/8. Каждая следующая ступень содержит половину предыдущего остатка.

За равные периоды полураспада вдвое уменьшается текущий остаток.

Обозначения

$N$: ожидаемое число нераспавшихся ядер выбранного изотопа к моменту t, 1
$N_0$: начальное число ядер того же изотопа при t = 0, 1
$t$: время от начала наблюдения, с
$T$: период полураспада; в других источниках обозначается T₁/₂, с

Условия применения

Рассматривают один изотоп с постоянным периодом полураспада T > 0; каждое ядро распадается независимо.
Время t ≥ 0 и период T выражены в одной единице: секунды с секундами, часы с часами.
Начальное число ядер N₀ неотрицательно. Новые ядра не поступают извне и не образуются при распаде другого вещества.

Ограничения

Для малого числа ядер фактический остаток случайно отклоняется от среднего N; формула не предсказывает момент распада отдельного ядра.
Для смеси изотопов с разными периодами нужно отдельно рассчитать каждый компонент и сложить результаты.
Число оставшихся ядер не равно числу распавшихся. Последнее находят как N₀ − N; число всех атомов образца при этом не обязано уменьшаться.

Подробное объяснение

Период полураспада — время, за которое ожидаемое число нераспавшихся ядер одного изотопа уменьшается вдвое. После первого периода остается N₀/2, после второго — N₀/4, после третьего — N₀/8. Каждый раз делится пополам текущий остаток, а не вычитается половина начального количества. Именно поэтому уменьшение не является линейным.

Отношение t/T показывает, сколько периодов прошло. Оно может быть и дробным: через половину периода остается доля 2^(−1/2), то есть около 0,707, а не 0,75. Степенная запись применима не только к целым числам периодов и позволяет сравнивать результаты для любого неотрицательного времени.

Распад отдельного ядра случаен. Закон описывает среднее поведение большого числа независимых ядер. При малом числе ядер расчет может дать нецелое значение: это математическое ожидание, а не возможность наблюдать часть ядра. Большой образец обычно ближе к расчетной доле, чем малый.

Начальное число N₀ относится к выбранному началу отсчета. Если отсчет начинают позже, новым N₀ становится количество ядер на этот момент; период того же изотопа от смены начала отсчета не меняется. В формулах сравнивают ядра одного вида, а не суммарную массу всех продуктов распада.

Проверить ответ можно без повторного вычисления степени. При t = 0 должно быть N = N₀, при t = T — N₀/2. Если увеличить время еще на T, остаток должен уменьшиться вдвое. При положительном N₀ результат находится между нулем и N₀. Для нахождения числа распадов вычтите остаток из начального числа.

Как пользоваться формулой

Запишите начальное число ядер N₀ и период полураспада T именно того изотопа, который рассматривается в условии.
Выразите прошедшее время t и период T в одинаковых единицах. Перевод в секунды не обязателен, если оба значения уже в часах.
Вычислите отношение t/T. Не округляйте его до целого числа: дробная часть периода тоже влияет на ответ.
Найдите оставшуюся долю 2^(−t/T), умножьте на N₀ и укажите, что получилось ожидаемое число нераспавшихся ядер.
Если требуется число распадов, вычислите N₀ − N. Проверьте пределы ответа и уменьшение остатка вдвое за каждый полный период.

Историческая справка

Открытие естественной радиоактивности Анри Беккерелем в 1896 году поставило вопрос о том, как изменяется излучение вещества со временем. В исследованиях начала XX века радиоактивность стала рассматриваться как превращение атомов, а не как обычная химическая реакция. Эрнест Резерфорд и Фредерик Содди развивали объяснение таких превращений; Нобелевская премия Резерфорду 1908 года была присуждена за исследования распада элементов и химии радиоактивных веществ.

Сегодня закон часто записывают через постоянную распада либо через период полураспада. Это две формы одной зависимости: замена параметра не создает нового закона. Запись с основанием 1/2 удобна в школьных задачах, поскольку непосредственно показывает последовательное уменьшение остатка вдвое.

Историческая линия формулы

Формула через период полураспада — учебная форма экспоненциального закона радиоактивного распада. Исторический контекст связан с исследованиями радиоактивных превращений Резерфорда и Содди. Отдельного автора у преобразования N = N₀ · 2^(−t/T) не выделяют: оно следует из определения периода.

Пример

В учебном образце в начале наблюдения было 8000 ядер одного изотопа. Его период полураспада T = 3 ч. Сколько ядер в среднем останется через t = 6 ч и сколько распадется? Время и период заданы в часах, поэтому их отношение безразмерно: t/T = 6/3 = 2. Прошло два периода. Подставляем: N = 8000 · (1/2)² = 8000/4 = 2000 ядер. Распавшихся ядер: 8000 − 2000 = 6000. Осталось 25% начального числа, распалось 75%. Проверка последовательным делением: через 3 ч ожидается 4000 ядер, еще через 3 ч — 2000. Ответ меньше начального числа и положителен. Для реального образца это среднее статистическое значение, а не обязательный точный счет.

Частая ошибка

Не вычитайте N₀/2 за каждый период: после второго периода остается четверть исходного числа, а не ноль. Не смешивайте часы и секунды в отношении t/T. Не принимайте T за температуру: здесь это период полураспада. Не путайте остаток N с числом распадов N₀ − N. Наконец, не округляйте долю до умножения на N₀ и не трактуйте среднее значение как точный прогноз распада отдельного ядра.

Практика

Задачи с решением

Три периода

Условие. Изначально было 16000 ядер. Сколько в среднем останется через три периода полураспада?

Решение. За три периода доля остатка равна (1/2)³ = 1/8. N = 16000/8 = 2000.

Ответ. В среднем 2000 ядер.

Найти время

Условие. Период полураспада равен 5 суткам. Через какое время останется 12,5% начального числа ядер?

Решение. 12,5% = 0,125 = 1/8 = (1/2)³. Значит, пройдет три периода: t = 3 · 5 = 15 суток.

Ответ. Через 15 суток.

Дополнительные источники

OpenStax. University Physics Volume 3, 10.3 Radioactive Decay. https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/10-3-radioactive-decay
Ernest Rutherford. Nobel Lecture, 11 December 1908. https://www.nobelprize.org/prizes/chemistry/1908/rutherford/lecture/
Nobel Prize. Chemistry 1908 — summary. https://www.nobelprize.org/prizes/chemistry/1908/summary/

Связанные формулы

Физика

Магнитное поле длинного прямого проводника

$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

Магнитное поле длинного прямого проводника: формула B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r} помогает величины B, I, r, mu_0 заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Физика

Магнитное поле внутри длинного соленоида

$B=\mu_0 n I$

Магнитное поле внутри длинного соленоида: формула B=\mu_0 n I помогает величины B, n, I, mu_0 заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Физика

Радиус движения заряженной частицы в магнитном поле

$r=\frac{mv}{|q|B}$

Радиус движения заряженной частицы в магнитном поле: формула r=\frac{mv}{|q|B} помогает величины r, m, v, q заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Физика

Коэффициент трансформации по числу витков

$\frac{U_2}{U_1}=\frac{N_2}{N_1}$

Коэффициент трансформации по числу витков: формула \frac{U_2}{U_1}=\frac{N_2}{N_1} помогает величины U_1, U_2, N_1, N_2 заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.