Все формулы РФ

Физика / Механика

Момент инерции сплошного диска относительно центральной оси

У однородного сплошного диска момент относительно оси симметрии равен MR²/2. Он вдвое меньше момента тонкого обода той же массы и радиуса: часть массы диска находится ближе к центру.

Опубликовано: Обновлено:

МеханикаДинамикаСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справка

Формула

$$I=MR^2/2$$
Схема Однородный сплошной диск и ось
Однородный сплошной диск: ось инерцииось направлена к читателюОсь симметрии проходит через центр

Схема модели; ось проходит через центр вдоль оси симметрии.

Обозначения

$I$
момент инерции относительно заданной оси, кг·м²
$M$
масса тела, кг
$R$
радиус диска, м

Условия применения

Тело моделируют как однородный сплошной диск с равномерным распределением массы. Ось проходит через центр вдоль оси симметрии. Масса и размеры относятся к одному телу; размеры выражены в метрах, масса — в килограммах.

Ограничения

Формула не учитывает неоднородность материала, заметную массу креплений и отклонение формы от указанной модели. При другой оси величина изменится: для оси, параллельной центральной, можно применить теорему Штейнера, для произвольной ориентации требуется отдельный расчёт.

Подробное объяснение

У сплошного диска масса занимает всю площадь от центра до края. Радиус R задаёт только внешнюю границу: не каждый элемент находится на таком расстоянии от оси. Поэтому выражение MR² завышает момент вдвое. Коэффициент 1/2 учитывает и внутренние кольца с меньшими радиусами.

Разделим круг на тонкие кольца. Их масса dm=2Mr dr/R², а каждое кольцо даёт r²dm. Интеграл от нуля до R равен MR²/2: масса распределена по всем радиусам, а не сосредоточена на ободе. Это не произвольный геометрический коэффициент: он возникает из суммирования элементов массы с весом квадрата их расстояния до оси.

Толщина не входит в выражение для оси симметрии однородного цилиндрического диска: перемещение массы вдоль самой оси не меняет расстояние до неё. Для поперечной оси толщина уже существенна. При том же M уменьшение радиуса вдвое уменьшает I в четыре раза; при той же поверхностной плотности масса также уменьшится в четыре раза.

При одинаковых массе и радиусе тонкое кольцо имеет момент MR², вдвое больший. Это сравнение объясняет различие угловых ускорений при одинаковом моменте силы.

Для маховика полезно отдельно посчитать диск и обод. Даже лёгкий обод может заметно увеличить I за счёт удалённости от оси. Найденное значение входит в E=Iω²/2; заданная частота в оборотах в минуту требует предварительного перевода в радианы в секунду.

Как пользоваться формулой

  1. Убедитесь, что модель подходит: однородный сплошной диск, распределение массы однородно, а другие детали не включены в массу.
  2. Проверьте положение оси: она проходит через центр вдоль оси симметрии; при другой оси сначала выберите соответствующее выражение.
  3. Запишите массу в килограммах и радиус тела в метрах; сантиметры переведите до возведения в квадрат.
  4. Подставьте данные в формулу и выполните квадрат длины до умножения на массу и числовой коэффициент.
  5. Запишите результат в кг·м² и сравните его с изменением массы или размеров, чтобы проверить порядок величины.

Историческая справка

Задача распределения массы относительно оси возникла при изучении составных маятников. В трактате «Horologium oscillatorium», опубликованном в 1673 году, Христиан Гюйгенс исследовал центр колебаний и суммы квадратов расстояний элементов тела от оси. В доступном английском переводе четвёртой части отдельно сформулирована задача суммы квадратов расстояний для заданного тела.

Для круглой пластины переход от суммы масс к интегралу удобно выполнить через концентрические кольца. Так устроен современный вывод в OpenStax: каждое кольцо имеет одну удалённость от оси, но его масса пропорциональна радиусу. Интеграл r³dr приводит к коэффициенту 1/2. Этот способ показывает, почему нельзя распределить массу диска равномерно по радиусу или поместить её всю на обод. Табличная запись закрепляет результат для однородной модели, а практический маховик со ступицей требует суммы моментов отдельных частей.

Историческая линия формулы

Гюйгенс в XVII веке исследовал составной маятник и суммы квадратов расстояний, связанные с современной величиной момента инерции. Запись I=MR^2/2 — современный результат для указанной идеализированной геометрии; нет оснований приписывать конкретную табличную форму одному автору только по этой связи.

Пример

Однородная круглая платформа массой 2 кг имеет радиус 0,4 м. Она вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через центр. Момент равен I=2·0,4²/2=0,16 кг·м². При угловой скорости 10 рад/с её энергия E=Iω²/2=0,16·100/2=8 Дж. Если бы та же масса находилась в тонком ободе того же радиуса, момент был бы 0,32 кг·м², а энергия при той же скорости — 16 Дж. Диск даёт половину результата кольца, поскольку часть массы ближе к оси. Проверка единиц: кг·м²·с⁻²=Дж. Указанные 8 Дж относятся только к диску; энергию двигателя, вала и других вращающихся деталей сюда не включали.

Частая ошибка

Не подставляйте диаметр вместо радиуса: получите четырёхкратное завышение. Не используйте MR² для сплошного диска: это формула тонкого кольца. Массу вала считайте отдельно, если он заметен. Энергию получают только после умножения I на ω²/2; кг·м² сами по себе не джоули.

Практика

Задачи с решением

Момент силы

Условие. Для платформы из примера результирующий момент равен 0,08 Н·м. Найдите ускорение.

Решение. ε=τ/I=0,08/0,16=0,5 рад/с².

Ответ. 0,5 рад/с².

Радиус по моменту

Условие. Однородный диск массой 4 кг имеет момент 0,18 кг·м². Определите радиус.

Решение. R=√(2I/M)=√(0,36/4)=√0,09=0,3 м.

Ответ. 0,3 м.

Дополнительные источники

  • https://openstax.org/books/physics/pages/a-reference-tables
  • https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/10-5-calculating-moments-of-inertia
  • https://ecommons.cornell.edu/entities/publication/6ea2d54b-ca98-4f2c-8e3a-f6332357d739
  • https://www.17centurymaths.com/contents/huygens/horologiumpart4a.pdf

Связанные формулы

Физика

Теорема Штейнера об оси инерции

$I=I_{cm}+ma^2$

Теорема Штейнера, или теорема о параллельных осях, связывает момент инерции относительно новой оси с моментом относительно параллельной оси через центр масс.