Физика / Электричество
Последовательное соединение сопротивлений
При последовательном соединении резисторы образуют один путь для тока. Сопротивления складываются, сила тока одинакова, а напряжение распределяется между участками.
Формула
К клеммам А и Б подключен источник 12 В. Между резисторами нет ответвления.
Обозначения
- $R$
- общее сопротивление, Ом
- $R_1, R_2, \dots, R_n$
- сопротивления отдельных проводников, Ом
Условия применения
- Между резисторами нет узлов с дополнительными ветвями: через каждый резистор проходит один и тот же ток.
- Сопротивления положительны и заданы для рабочего состояния резисторов; сопротивлением соединительных проводов пренебрегают.
Ограничения
- Если от точки между резисторами отходит провод с током, простое сложение сопротивлений всей схемы неприменимо.
- Нагрев может изменить сопротивление. Для постоянного тока закон Ома используют с сопротивлениями при фактической температуре.
Подробное объяснение
В последовательной цепи заряд не выбирает между несколькими путями. За одно и то же время через любое поперечное сечение проходит одинаковый заряд, поэтому сила тока во всех резисторах одинакова: I = I₁ = I₂. Напряжения при этом могут различаться.
Каждый резистор получает часть энергии, которую источник передает единице заряда. Поэтому напряжение на всей цепочке равно сумме напряжений: U = U₁ + U₂. По закону Ома U₁ = IR₁ и U₂ = IR₂. Подстановка дает U = I(R₁ + R₂), то есть общее сопротивление R = R₁ + R₂.
Чем больше сопротивление отдельного резистора, тем больше падение напряжения на нем при том же токе. Отношение напряжений равно отношению сопротивлений: U₁/U₂ = R₁/R₂. Если добавить еще один резистор последовательно и оставить напряжение источника прежним, общее сопротивление возрастет, а ток уменьшится.
Для проверки удобно сравнить ответ с каждым слагаемым: сумма положительных сопротивлений должна быть больше любого из них. Второй контроль — сложить найденные напряжения и получить напряжение на концах цепочки. Ток на резисторе не «расходуется»: расходуется передаваемая электрическая энергия. Этот факт отличает последовательную цепь от ошибочного представления о постепенном исчезновении тока.
Как пользоваться формулой
- Проследите путь тока на схеме: между выбранными резисторами не должно быть ответвления.
- Приведите сопротивления к омам и сложите их, получив сопротивление всей цепочки.
- Разделите напряжение на концах цепочки на общее сопротивление, если нужно найти ток.
- Найдите U₁ = IR₁ и U₂ = IR₂; проверьте, что их сумма равна напряжению источника.
Историческая справка
Правило сложения последовательных сопротивлений связано с количественным описанием электрической цепи, которое развивалось в XIX веке. Его физическая основа — закон Ома и сохранение заряда и энергии. Для вывода не нужно вводить особый новый закон: достаточно одинакового тока в цепочке и сложения падений напряжения.
В современном учебном изложении каждый участок заменяют идеальным резистором. Такой элемент позволяет отделить расчет распределения напряжения от устройства конкретного проводника. Схематический прямоугольник обозначает сопротивление, а линия между прямоугольниками — провод, сопротивление которого в данной модели не учитывается.
Поэтому запись R = R₁ + R₂ корректнее связывать с развитием теории электрических цепей, а не приписывать отдельному изобретателю. Учебный вывод через U = IR объясняет и происхождение правила, и предел его применения: одинаковый ток должен проходить через все складываемые сопротивления.
Историческая линия формулы
Сложение последовательных сопротивлений — следствие закона Ома и законов сохранения для цепи без ответвлений. Это расчетное правило теории электрических цепей; отдельное авторство именно школьной записи суммы не устанавливается.
Пример
К источнику напряжением 12 В последовательно подключены резисторы 4 Ом и 8 Ом. Нужно найти общее сопротивление, ток и напряжения на резисторах. Сопротивлением проводов пренебрегаем. R = 4 + 8 = 12 Ом. Ток один и тот же на обоих участках: I = U/R = 12/12 = 1 А. Тогда U₁ = 1 × 4 = 4 В, U₂ = 1 × 8 = 8 В. Проверяем: 4 + 8 = 12 В — получили напряжение источника. Кроме того, 12 Ом больше каждого отдельного сопротивления. Резистор 8 Ом получает вдвое большее напряжение, но ток через него не вдвое меньше: через оба резистора проходит 1 А.
Частая ошибка
Не складывайте токи последовательных участков: через них проходит один ток. Не делите напряжение пополам, если сопротивления различны: большему сопротивлению соответствует большее падение напряжения. Не называйте два резистора последовательными только потому, что они нарисованы рядом: сначала проверьте отсутствие ответвления в их общей точке.
Практика
Задачи с решением
Неизвестный резистор
Условие. Общее сопротивление двух последовательных резисторов 18 Ом; первый имеет 7 Ом. Найдите второй.
Решение. R₂ = 18 − 7 = 11 Ом; 7 + 11 = 18 Ом.
Ответ. 11 Ом
Проверка тока
Условие. Через первый из двух последовательных резисторов идет 0,3 А. Ученик указал для второго 0,2 А. Верно ли это?
Решение. Ответвлений нет, поэтому заряд не накапливается между резисторами и токи равны.
Ответ. Нет: через второй резистор также идет 0,3 А.
Калькулятор
Два последовательных резистора
Подставьте величины в указанных единицах.
Дополнительные источники
- OpenStax, College Physics 2e, §21.1 Resistors in Series and Parallel: https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/21-1-resistors-in-series-and-parallel
- OpenStax, College Physics 2e, §20.2 Ohm’s Law: https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/20-2-ohms-law-resistance-and-simple-circuits
Связанные формулы
Физика
Параллельное соединение сопротивлений
При параллельном соединении резисторы подключены к одним двум узлам. Напряжение на ветвях одинаково, токи складываются, а общее сопротивление меньше сопротивления каждой ветви.
Физика
Закон Ома для участка цепи
Закон Ома для участка цепи связывает силу тока, напряжение и сопротивление: ток прямо пропорционален напряжению и обратно пропорционален сопротивлению.
Физика
Сопротивление однородного проводника
Сопротивление однородного проводника равно ρl/S: оно растет с длиной и удельным сопротивлением материала и уменьшается при большем сечении.
Физика
Работа электрического тока
Работа электрического тока показывает переданную электрическую энергию. При постоянных напряжении и силе тока A = UIt; ту же энергию можно найти как произведение мощности на время.