Физика / Электричество
Сопротивление однородного проводника
Сопротивление однородного проводника равно ρl/S: оно растет с длиной и удельным сопротивлением материала и уменьшается при большем сечении.
Формула
l измеряется вдоль провода, S относится к поперечному срезу. Удельное сопротивление ρ задается для материала при указанной температуре.
Больше длина — больше R; больше площадь сечения — меньше R при неизменных остальных условиях.
Обозначения
- $R$
- электрическое сопротивление, Ом
- $\rho$
- удельное сопротивление материала, Ом·м
- $l$
- длина проводника, м
- $S$
- площадь поперечного сечения, м²
Условия применения
- Проводник однороден, имеет постоянное поперечное сечение S > 0 и длину l > 0; ток направлен вдоль его длины.
- Удельное сопротивление ρ относится к данному материалу при температуре проводника. Во время расчета температура считается постоянной; ρ > 0 для обычного проводника.
- Если ρ дано в Ом·м, длину выражают в метрах, а площадь — в м². Значения в Ом·мм²/м требуют площади в мм².
Ограничения
- При заметном нагреве сопротивление материала изменяется. Нельзя использовать табличное ρ при комнатной температуре для раскаленного провода без уточнения.
- Для нескольких материалов или неодинакового сечения провод делят на участки и учитывают их соединение. Одно среднее сечение без обоснования не подходит.
- Формула не учитывает сопротивление контактов и особенности переменного тока высокой частоты. Расчет учебного сопротивления не заменяет подбор безопасной электропроводки.
Подробное объяснение
Сопротивление провода зависит и от вещества, и от его формы. Удельное сопротивление ρ характеризует материал при определенной температуре, длина l задает путь вдоль проводника, а S — площадь поперечного сечения. Формула R = ρl/S относится к однородному проводу с неизменным сечением.
Мысленно соедините два одинаковых куска провода последовательно: общая длина и сопротивление удвоятся. Теперь расположите два одинаковых проводника рядом и соедините параллельно. Общая площадь проводящего сечения удвоится, а сопротивление станет вдвое меньше. Так можно понять зависимость от l и S без представления о сопротивлении как о произвольном табличном числе.
Площадь и диаметр не взаимозаменяемы. Для круглой проволоки S = πd²/4; если диаметр увеличился вдвое, площадь выросла в четыре раза. При одинаковых длине, материале и температуре сопротивление уменьшится тоже в четыре раза.
В СИ используют ρ в Ом·м, l в метрах и S в квадратных метрах. Равенство 1 мм² = 10⁻⁶ м² важно запомнить отдельно: квадратный миллиметр отличается от квадратного метра в миллион раз. Возможна другая согласованная запись: ρ в Ом·мм²/м и площадь в мм². Для меди при 20 °C ориентировочно ρ ≈ 1,72·10⁻⁸ Ом·м, то есть 0,0172 Ом·мм²/м; в задаче приоритет имеет заданное значение.
При обратном расчете S = ρl/R и l = RS/ρ. Они позволяют найти нужную площадь или длину при заданном сопротивлении. Температуру при сравнении нужно удерживать одинаковой: нагрев провода меняет ρ и способен нарушить вывод, сделанный только по его геометрии.
Как пользоваться формулой
- Убедитесь, что провод однороден и его сечение постоянно; выберите удельное сопротивление для указанной температуры.
- Запишите длину в метрах и согласуйте единицы площади с ρ: для Ом·м нужна площадь в м², для Ом·мм²/м — в мм².
- Если дан диаметр круглого провода, сначала найдите площадь S = πd²/4, используя одну единицу длины для всего расчета.
- Подставьте значения в R = ρl/S или выразите искомое S = ρl/R; проверьте, что знаменатель положителен и не равен нулю.
- Запишите результат с единицами и проверьте зависимость: более длинный такой же провод имеет большее сопротивление.
Историческая справка
Количественное изучение проводников стало частью развития электрических цепей в XIX веке. Георг Симон Ом опубликовал в 1827 году книгу о математическом исследовании гальванической цепи. Важным шагом был переход от отдельных наблюдений к расчету связи тока и характеристик цепи. Это исторический контекст закона Ома, но современную запись R = ρl/S не следует без оговорок выдавать за буквальную формулу из той книги.
Для практического расчета необходимо различать сопротивление готовой детали и свойство вещества. Проволоки одного материала могут иметь разное сопротивление из-за длины и сечения; удельное сопротивление позволяет отделить эти геометрические факторы. Табличные значения требуют указания температуры и единиц, иначе сравнение теряет смысл.
Современная школьная формула соединяет это свойство материала с моделью однородного проводника. Историческое имя Ома закреплено в названии единицы сопротивления. Буква ρ и согласованные единицы СИ принадлежат современной системе записи и измерения величин, а не служат доказательством единоличного авторства всей методики.
Историческая линия формулы
Связь сопротивления с материалом и геометрией относится к традиции исследования проводимости и электрических цепей. Работы Георга Ома, в частности книга 1827 года, важны для ее исторического контекста. Формулу R = ρl/S здесь используем в современной записи; не приписываем Ому введение каждого нынешнего обозначения и табличной методики.
Пример
Однородный медный провод длиной 10 м имеет сечение 0,5 мм². Температура постоянна; для этой задачи дано ρ = 0,017 Ом·мм²/м. Нужно найти сопротивление. Единицы уже согласованы, поэтому R = ρl/S = 0,017 · 10 / 0,5 = 0,34 Ом. Проверим в СИ: S = 0,5·10⁻⁶ м², ρ = 1,7·10⁻⁸ Ом·м; R = 1,7·10⁻⁸ · 10 / (0,5·10⁻⁶) = 0,34 Ом. Ответ: 0,34 Ом. Оба пути дают одно число, потому что перевод площади сопровождается согласованной единицей ρ. Если взять такой же провод длиной 20 м при той же температуре, сопротивление будет 0,68 Ом; это проверяет прямую зависимость от длины.
Частая ошибка
Не подставляйте диаметр вместо площади: для круглого сечения сначала вычислите πd²/4. Не считайте 1 мм² равным 10⁻³ м² — правильный множитель 10⁻⁶. Не смешивайте ρ в Ом·м с площадью в мм². При сравнении проводов проверяйте не только материал, но и температуру: у нагретого металла удельное сопротивление обычно больше. Удвоение диаметра при неизменных остальных условиях уменьшает R в четыре раза, а не в два.
Практика
Задачи с решением
Найти площадь сечения
Условие. Провод имеет длину 8 м и должен иметь сопротивление 0,28 Ом. Дано ρ = 0,028 Ом·мм²/м при постоянной температуре. Найдите площадь сечения.
Решение. S = ρl/R = 0,028 · 8 / 0,28 = 0,8 мм².
Ответ. 0,8 мм²
Размерность: (Ом·мм²/м) · м / Ом = мм². Подстановка найденного сечения возвращает R = 0,028 · 8 / 0,8 = 0,28 Ом.
Изменение диаметра
Условие. У первого круглого провода сопротивление 12 Ом. Второй имеет тот же материал, температуру и длину, но его диаметр вдвое больше. Найдите сопротивление второго провода.
Решение. S2/S1 = d2²/d1² = 4. Поэтому R2 = R1/4 = 12/4 = 3 Ом.
Ответ. 3 Ом
Провод стал толще в смысле диаметра вдвое, а площадь проводящего сечения увеличилась вчетверо. Сопротивление обратно пропорционально именно площади.
Калькулятор
Сопротивление
Введите величины в указанных единицах. Условия модели приведены в статье.
- Пустые поля не считаются нулем. Смысл знаков и область применимости указаны в объяснении.
Дополнительные источники
- OpenStax, College Physics 2e, 20.3 Resistance and Resistivity, таблица 20.1: https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/20-3-resistance-and-resistivity
- MacTutor, University of St Andrews, Georg Simon Ohm: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Ohm/
- ФРП Физика 7–9, 2025, с. 10–12: https://edsoo.ru/wp-content/uploads/2025/07/2025_ooo_frp_fizika-7-9_baz.pdf
Связанные формулы
Физика
Закон Ома для участка цепи
Закон Ома для участка цепи связывает силу тока, напряжение и сопротивление: ток прямо пропорционален напряжению и обратно пропорционален сопротивлению.
Физика
Сила тока через заряд и время
Сила постоянного тока равна заряду, прошедшему через выбранное поперечное сечение за время t: I = q/t. Если ток менялся, отношение дает среднюю силу тока за этот промежуток.
Физика
Последовательное соединение сопротивлений
При последовательном соединении резисторы образуют один путь для тока. Сопротивления складываются, сила тока одинакова, а напряжение распределяется между участками.
Физика
Параллельное соединение сопротивлений
При параллельном соединении резисторы подключены к одним двум узлам. Напряжение на ветвях одинаково, токи складываются, а общее сопротивление меньше сопротивления каждой ветви.