Физика / Электричество
Параллельное соединение сопротивлений
При параллельном соединении резисторы подключены к одним двум узлам. Напряжение на ветвях одинаково, токи складываются, а общее сопротивление меньше сопротивления каждой ветви.
Формула
Обе ветви соединяют узлы А и Б. Напряжение каждой ветви 12 В.
Обозначения
- $R$
- общее сопротивление двух параллельных резисторов, Ом
- $R_1, R_2$
- сопротивления двух ветвей, Ом
Условия применения
- Каждая рассматриваемая ветвь соединяет одну и ту же пару узлов, поэтому напряжения на ветвях равны.
- Сопротивления ветвей положительны и постоянны в рассматриваемом режиме; соединительные провода считаются идеальными.
Ограничения
- Если у двух резисторов общая только одна точка, этого недостаточно для параллельного соединения.
- Выражение R = R₁R₂/(R₁ + R₂) относится к двум ветвям. Для трех и более ветвей складывают обратные сопротивления.
Подробное объяснение
В параллельной цепи у заряда есть несколько путей между одними и теми же узлами. Разность потенциалов между этими узлами одна, поэтому U = U₁ = U₂. При этом токи в ветвях обычно различны: I₁ = U/R₁, I₂ = U/R₂. Через меньшее сопротивление при одинаковом напряжении проходит больший ток.
В точке разветвления заряд не возникает и не исчезает. Ток в общей части цепи равен сумме токов ветвей: I = I₁ + I₂. Подставляя закон Ома, получаем U/R = U/R₁ + U/R₂. При ненулевом напряжении можно сократить U и записать 1/R = 1/R₁ + 1/R₂. Для двух резисторов отсюда R = R₁R₂/(R₁ + R₂).
Добавление еще одной проводящей ветви облегчает прохождение тока: при прежнем напряжении суммарный ток растет, а общее сопротивление уменьшается. Поэтому результат должен быть меньше каждого положительного сопротивления ветвей. Для двух одинаковых резисторов сопротивлением R₀ ответ равен R₀/2.
В смешанной цепи сначала выделяют параллельную группу по общим узлам. Ее заменяют одним эквивалентным сопротивлением, после чего проверяют, какие элементы стали последовательными. Складывать все числа со схемы сразу нельзя: порядок вычислений определяется соединениями, а не расположением надписей.
Как пользоваться формулой
- Найдите два общих узла и убедитесь, что обе ветви подключены именно между ними.
- Для двух резисторов вычислите произведение R₁R₂ и разделите его на сумму R₁ + R₂.
- Если известно напряжение, найдите ток каждой ветви отдельно: I₁ = U/R₁ и I₂ = U/R₂.
- Сложите токи ветвей и сравните сумму с U/R; общее сопротивление должно быть меньше каждого из двух.
Историческая справка
Расчет параллельных ветвей показывает, как из простого закона для одного проводника строится описание целой электрической сети. В теории цепей XIX века принципиальным стало различение двух условий: одинакового тока в последовательных элементах и одинакового напряжения между общими узлами.
Современный вывод складывает токи, найденные по закону Ома. При общем напряжении удобнее складывать величины, обратные сопротивлениям, — проводимости. Физический смысл этой операции состоит в появлении дополнительных путей переноса заряда. Каждый путь увеличивает общий ток при том же напряжении между узлами.
Формула для двух сопротивлений в виде дроби с произведением в числителе — алгебраическое преобразование общего правила проводимостей. Она не представляет отдельного экспериментального закона. Именно поэтому для трех ветвей нельзя механически продолжить запись произведения: следует вернуться к сумме обратных сопротивлений.
Историческая линия формулы
Правило параллельного соединения выводится из закона Ома и сохранения заряда в узле. Формула R₁R₂/(R₁ + R₂) — частный случай для двух ветвей, а не независимое открытие с отдельным автором; ее происхождение видно из сложения токов.
Пример
Резисторы 6 Ом и 3 Ом подключены параллельно к напряжению 12 В. Общее сопротивление R = 6 × 3 / (6 + 3) = 18/9 = 2 Ом. Токи ветвей: I₁ = 12/6 = 2 А и I₂ = 12/3 = 4 А. Общий ток I = 2 + 4 = 6 А. Независимая проверка: U/R = 12/2 = 6 А — совпало. Сопротивление 2 Ом меньше и 3 Ом, и 6 Ом. Напряжение на каждой ветви остается 12 В, а не 6 В: обе ветви соединяют одни и те же точки. Для смешанной цепи можно добавить к этой группе резистор 4 Ом последовательно; тогда общее сопротивление всей схемы станет 4 + 2 = 6 Ом.
Частая ошибка
Не складывайте сопротивления параллельных ветвей как последовательные. Не принимайте сумму 1/R₁ + 1/R₂ за R: это обратная величина, ее нужно обратить. Не делите общий ток поровну при разных сопротивлениях. Не путайте напряжение на параллельной группе с напряжением всего источника, если перед группой есть последовательный резистор.
Практика
Задачи с решением
Две одинаковые ветви
Условие. Два резистора по 10 Ом соединены параллельно. Найдите общее сопротивление.
Решение. 1/R = 1/10 + 1/10 = 1/5, поэтому R = 5 Ом.
Ответ. 5 Ом
Смешанная цепь
Условие. Резистор 4 Ом соединен последовательно с параллельной группой 6 Ом и 3 Ом. Напряжение всей цепи 12 В. Найдите общий ток.
Решение. R группы = 6 × 3 / 9 = 2 Ом. R всей цепи = 4 + 2 = 6 Ом. I = 12/6 = 2 А.
Ответ. 2 А
Калькулятор
Два параллельных резистора
Подставьте величины в указанных единицах.
Дополнительные источники
- OpenStax, College Physics 2e, §21.1 Resistors in Series and Parallel: https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/21-1-resistors-in-series-and-parallel
- OpenStax, College Physics 2e, §20.2 Ohm’s Law: https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/20-2-ohms-law-resistance-and-simple-circuits
Связанные формулы
Физика
Последовательное соединение сопротивлений
При последовательном соединении резисторы образуют один путь для тока. Сопротивления складываются, сила тока одинакова, а напряжение распределяется между участками.
Физика
Закон Ома для участка цепи
Закон Ома для участка цепи связывает силу тока, напряжение и сопротивление: ток прямо пропорционален напряжению и обратно пропорционален сопротивлению.
Физика
Сопротивление однородного проводника
Сопротивление однородного проводника равно ρl/S: оно растет с длиной и удельным сопротивлением материала и уменьшается при большем сечении.
Физика
Сила тока через заряд и время
Сила постоянного тока равна заряду, прошедшему через выбранное поперечное сечение за время t: I = q/t. Если ток менялся, отношение дает среднюю силу тока за этот промежуток.