Математика / Пределы, ряды

Признак сравнения для несобственных интегралов

Признак сравнения переносит сходимость или расходимость несобственного интеграла с известной функции на сравниваемую неотрицательную функцию через поточечное неравенство.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Формула

0\le f(x)\le g(x),\quad \int_a^b g(x)\,dx<\infty\ \Rightarrow\ \int_a^b f(x)\,dx<\infty

Обозначения

$f(x), g(x)$: неотрицательные сравниваемые функции, единицы подынтегральной величины
$a,b$: границы промежутка, одна из которых может быть особой или бесконечной, единицы x
$\int_a^b$: несобственный интеграл как предел собственных интегралов, единицы f умноженные на единицы x

Условия применения

Функции неотрицательны на рассматриваемом хвосте или в проколотой окрестности особой точки.
Неравенство 0≤f(x)≤g(x) выполняется там, где проверяется несобственность.
Эталонный интеграл для g уже исследован на сходимость.
Интегралы понимаются как пределы по проблемной границе.

Ограничения

Прямой признак сравнения не работает напрямую для знакопеременных функций без перехода к модулю.
Если большая функция расходится, из этого не следует расходимость меньшей.
Если меньшая функция сходится, из этого не следует сходимость большей.
Неравенство можно проверять только вблизи проблемной границы, но нужно ясно указать этот хвост.

Подробное объяснение

Признак сравнения основан на монотонности интеграла для неотрицательных функций. Если площадь под f не больше площади под g на каждом конечном участке хвоста, то предельная площадь f не может стать бесконечной, когда у g она уже конечна.

Для доказательства расходимости используется обратная логика с нижней оценкой: если f(x)≥g(x)≥0 и интеграл g расходится, то f тем более накапливает бесконечную площадь. Важно не перепутать направление неравенства, потому что именно оно определяет, какой вывод допустим.

В несобственных интегралах сравнение почти всегда проводят не на всем промежутке, а около проблемного места: при x→∞ или x→a+ у вертикальной особенности. Поведение на любом конечном хорошем куске не влияет на сходимость, если функция там интегрируема обычным образом.

Эталонами часто служат p-интегралы, экспоненциальные хвосты и функции вида 1/x^p около нуля. Например, около бесконечности 1/x^p сходится при p>1, а около нуля x^{-p} интегрируема при p<1. Эти шаблоны позволяют быстро классифицировать сложные выражения.

Если знак функции меняется, сначала проверяют абсолютную сходимость через |f| или используют другие методы. Прямое сравнение без неотрицательности может дать неверный вывод, потому что положительные и отрицательные площади могут компенсироваться.

Как пользоваться формулой

Определите проблемную границу: бесконечность или точку, где функция не ограничена.
Выберите эталонную неотрицательную функцию с известным несобственным интегралом.
Докажите нужное неравенство на достаточно дальнем хвосте или в проколотой окрестности.
Для сходимости ограничивайте исходную функцию сверху сходящимся эталоном.
Для расходимости ограничивайте исходную функцию снизу расходящимся эталоном.
Отдельно отметьте, что оставшийся конечный участок не влияет на итог.

Историческая справка

Признаки сравнения выросли из строгой теории интеграла и рядов XIX века. После работ Коши стало ясно, что сходимость бесконечных процессов нужно проверять не только вычислением явной суммы или первообразной, но и оценками. Монотонность интеграла для неотрицательных функций дала естественный инструмент: меньшая площадь не превосходит большей.

В дальнейшем сравнение стало базовой частью курсов анализа рядом с p-рядами и p-интегралами. Оно связывает дискретную и непрерывную теории: похожая идея работает для числовых рядов, а через интегральный признак позволяет переносить оценки между суммами и интегралами.

Современные учебники обычно формулируют прямой признак, предельный признак сравнения и варианты для абсолютной сходимости. Такая система появилась из необходимости классифицировать несобственные интегралы без громоздкого поиска первообразных, особенно в задачах математической физики и асимптотического анализа.

Историческая линия формулы

У признака сравнения нет единственного автора: это следствие монотонности интеграла и кошиевской программы строгого анализа. В учебной традиции он относится к общим критериям сходимости XIX века, а конкретные формулировки зависят от принятого определения несобственного интеграла. Поэтому в источниках обычно указывают учебную или научную традицию, а не единственного автора короткой записи.

Пример

Задача. Исследовать сходимость I=∫_2^∞ dx/(x^2+sin^2 x). Дано: подынтегральная функция положительна. Так как sin^2 x≥0, то x^2+sin^2 x≥x^2, а значит 0≤1/(x^2+sin^2 x)≤1/x^2 при x≥2. Эталонный интеграл ∫_2^∞ dx/x^2=[-1/x]_2^∞=1/2 сходится. По признаку сравнения I также сходится. Ответ: интеграл сходится. Проверка: знаменатель исходной дроби никогда не меньше x^2, поэтому исходная площадь не превосходит площади под 1/x^2. Единицы согласованы: обе функции имеют порядок обратного квадрата аргумента, а интегрирование по x дает конечный хвост порядка 1/x. Дополнительная проверка: сравниваем результат с исходной записью при допустимых значениях переменных или на граничном случае из условия. Если обе записи дают одно и то же значение и не нарушают ограничения, преобразование выполнено согласованно.

Частая ошибка

Чаще всего ошибаются направлением сравнения: из f≤g и расходимости g ничего не следует о f. Вторая ошибка — игнорировать знак и применять признак к функции, которая меняет знак. Еще одна ловушка — доказывать неравенство только в отдельных точках, а не на всем нужном хвосте. В задачах с особенностью около нуля часто берут эталон для бесконечности и наоборот, хотя условия сходимости для x^{-p} в этих двух случаях различаются.

Практика

Задачи с решением

Сходимость экспоненциального хвоста

Условие. Исследовать ∫_1^∞ e^{-x}/x dx.

Решение. При x≥1 имеем 0≤e^{-x}/x≤e^{-x}. Интеграл ∫_1^∞ e^{-x} dx сходится, значит исходный интеграл сходится.

Ответ. Сходится.

Расходимость через нижнюю оценку

Условие. Исследовать ∫_1^∞ (1+sin^2 x)/x dx.

Решение. (1+sin^2 x)/x≥1/x≥0. Интеграл ∫_1^∞ dx/x расходится, значит исходный интеграл расходится.

Ответ. Расходится.

Дополнительные источники

Zorich, Mathematical Analysis I, improper integrals and comparison tests
Fichtenholz, Differential and Integral Calculus, Vol. 2, improper integrals
Apostol, Calculus, Vol. 1, improper integrals
Thomas' Calculus, section on improper integrals

Связанные формулы

Математика

Признак сравнения

$0\le a_n\le b_n,\;\sum b_n\text{ сходится }\Rightarrow\sum a_n\text{ сходится};\;0\le b_n\le a_n,\;\sum b_n\text{ расходится }\Rightarrow\sum a_n\text{ расходится}$

Сравнение с уже изученным рядом позволяет быстро переносить сходимость и расходимость. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой.

Математика

p-ряды

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \text{ сходится }\iff p>1$

Сходимость p-рядов полностью описывается значением p относительно 1. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой.

Математика

Интеграл от 1/x и логарифмическая форма

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C$

Интеграл от обратной функции 1/x — особый ключевой случай. Здесь формула степенного правила неприменима, потому что показатель равен −1, для которого получаем логарифм. Знак модуля делает ответ корректным на интервалах x>0 и x<0 и показывает, что первообразная определена с учётом области.

Математика

Необходимый признак сходимости ряда

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n\text{ сходится }\Rightarrow\lim_{n\to\infty} a_n=0$

Если ряд сходится, то его члены обязательно стремятся к нулю; это обязательный, но не достаточный тест. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой.

Математика

Абсолютная и условная сходимость

$\sum a_n\text{ абсолютно сходится}\iff\sum|a_n|\text{ сходится};\;\sum a_n\text{ условно сходится }\iff\sum a_n\text{ сходится, но }\sum|a_n|\text{ расходится}$

Классификация разделяет устойчивую сходимость от сходимости за счёт знакопеременного баланса. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой.