Математика / Вероятность и статистика

Дисперсия биномиального распределения

Формула «Дисперсия биномиального распределения» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Опубликовано: 2 июня 2026 г.Обновлено: 2 июня 2026 г.

Теория вероятностей и математическая статистика Есть историческая справка Страницы с задачами и решениями Анализ данных

Формула

$$D(X)=np(1-p)$$

Обозначения

X, Y: случайные величины или признаки, единицы исходной шкалы
$x_i, y_i, k$: значения исходов или наблюдений, единицы величины
$p_i, p$: вероятность исхода или успеха, доля единицы
$n$: число испытаний, гипотез или наблюдений, штуки
$M(X), D(X), sigma$: среднее, дисперсия и стандартное отклонение, зависит от величины

Условия применения

Дисперсия биномиального распределения применяют, когда X считает число успехов в независимых испытаниях Бернулли.
Перед расчетом проверяют масштаб данных: дисперсия имеет квадрат единицы счета успехов, а множитель p(1-p) отражает разброс отдельного испытания.
Ключевое условие модели: испытания независимы, иначе ковариации между индикаторами изменят дисперсию.

Ограничения

Формула дает ненадежный вывод, если испытания связаны общим фактором или вероятность успеха неодинакова.
Результат особенно чувствителен к значению p: разброс максимален около p = 0,5 и уменьшается у 0 или 1, поэтому исходные данные нужно проверять до округления.
Для вывода по реальным данным одной формулы обычно мало: нужны проверка предпосылок, размер выборки и понятный способ получения вероятностей или денежных ставок.

Подробное объяснение

Дисперсия биномиального распределения превращает вероятностную модель в число, с которым можно работать дальше. Результатом становится средний исход, мера разброса, сила линейной связи, вероятность события или стандартизованная величина.

Идея формулы опирается на взвешивание. Исходы с большей вероятностью дают больший вклад, отклонения от среднего учитываются через знак или квадрат, а условные вероятности связывают событие с гипотезами.

Поведение результата проверяют предельными случаями. Если вероятности сдвигаются к одному исходу, среднее приближается к нему. Если разброс исчезает, дисперсия и стандартное отклонение становятся нулевыми.

В типовых задачах сначала описывают исходы и вероятности, затем проверяют полноту модели, и только после этого выполняют подстановку. Для выборочных формул дополнительно проверяют объем наблюдений и независимость.

Формула D(X)=np(1-p) лучше читается рядом с родственными показателями. Среднее без дисперсии не показывает риск, а корреляция без диаграммы рассеяния может скрыть нелинейную связь.

Как пользоваться формулой

Определите величины, которые входят в формулу.
Приведите вероятности или ставки к десятичной форме.
Согласуйте единицы измерения и период расчета.
Подставьте значения без раннего округления.
Запишите ответ с единицами и короткой проверкой смысла.

Историческая справка

Формулы вероятности и статистики формировались от задач о шансах и ошибках измерения к строгой математической теории. В XVII-XIX веках появились правила сложения вероятностей, ожидание, дисперсия и нормальный закон; в XX веке они стали стандартным языком статистических выводов.

Формула np(1-p) закрепилась вместе с анализом повторных испытаний Бернулли. В современной статистике она лежит в основе стандартной ошибки доли и нормального приближения к биномиальному распределению. В записи D(X)=np(1-p) эта историческая идея сведена к короткой операции, но за ней стоит конкретная модель данных и способ измерения неопределенности или стоимости денег.

Для страницы «Дисперсия биномиального распределения» важно показывать не только итоговую дробь или сумму, но и условия, при которых она имеет смысл. Сегодня эта запись служит учебным и прикладным инструментом: она помогает связать таблицу данных, модель случайности и проверяемый числовой ответ. При работе с реальными данными формулу дополняют диагностикой предпосылок и анализом чувствительности.

Историческая линия формулы

Формула «Дисперсия биномиального распределения» в современной записи не сводится к одному источнику: она закреплена учебной традицией, стандартными обозначениями и практикой расчетов. В вероятностных формулах имя автора указывают только там, где связь исторически устойчива; многие записи являются результатом развития целой математической традиции. Поэтому атрибуцию лучше читать как исторический ориентир, а не как утверждение о единственном изобретателе.

Пример

Дано: величина X принимает значения 0, 1 и 3 с вероятностями 0,20; 0,50; 0,30. Для темы «Дисперсия биномиального распределения» сначала проверяем сумму вероятностей: 0,20+0,50+0,30=1. Подстановка в основную идею взвешивания: 0·0,20+1·0,50+3·0,30=1,40. Ответ: опорное среднее значение равно 1,4 единицы, а дальнейшая формула D(X)=np(1-p) использует его, если нужны отклонения, нормировка или условный пересчет. Проверка: результат лежит между 0 и 3; единицы не теряются, вероятность остается безразмерной долей.

Частая ошибка

Частые ошибки для расчета «Дисперсия биномиального распределения»: записывают np вместо np(1-p); считают дисперсию отрицательной при ошибке в p; забывают, что при p=1 разброс равен нулю. Также опасно переносить формулу на данные другого типа только потому, что запись похожа: сначала проверяют модель, затем единицы и только потом выполняют подстановку. Если результат выглядит правдоподобно, его все равно стоит проверить предельным случаем или смыслом знака.

Практика

Задачи с решением

Проверка исходных данных

Условие. Вероятности 0,25; 0,35; 0,40 или ставка 6% заданы для одного периода. Проверьте готовность к подстановке.

Решение. Вероятности дают сумму 1; ставка записывается как 0,06. Данные можно использовать после согласования периода.

Ответ. данные согласованы

Короткая подстановка

Условие. Возьмите значение 4 и вес 0,30 либо сумму 50 000 руб. и ставку 6%. Найдите первый вклад.

Решение. Вероятностный вклад: 4·0,30=1,20. Финансовый множитель периода: 1+0,06=1,06.

Ответ. 1,20 или множитель 1,06

Дополнительные источники

William Feller. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, том 1
A. N. Kolmogorov. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1933
Sheldon Ross. A First Course in Probability
OpenStax Introductory Statistics: probability distributions and inference

Связанные формулы

Математика

Плотность нормального распределения

$f(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

Формула «Плотность нормального распределения» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Стандартизация нормальной случайной величины

$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$

Формула «Стандартизация нормальной случайной величины» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Математическое ожидание биномиального распределения

$M(X)=np$

Формула «Математическое ожидание биномиального распределения» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Доверительный интервал для среднего при известной дисперсии

$\bar x\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}$

Формула «Доверительный интервал для среднего при известной дисперсии» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.