Все формулы РФ

Математика / Алгебра

Прогрессии: n-й член и сумма первых членов

Для арифметической прогрессии n-й член находится через первый член и разность, а сумма первых n членов равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на n.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭЕГЭФормулы по математике за 9 классАлгебраФункции и графикиКалькулятор

Формула

$$a_n=a_1+(n-1)d,\quad S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$$

Обозначения

$a_n$
n-й член арифметической прогрессии, число
$a_1$
первый член прогрессии, число
$d$
разность прогрессии, число
$S_n$
сумма первых n членов, число
$n$
номер члена или количество членов, натуральное число

Условия применения

  • Последовательность является арифметической: соседние члены отличаются на одно и то же число d.
  • Номер n является натуральным числом.
  • Сумма S_n относится к первым n членам именно этой прогрессии.

Ограничения

  • Формулы не применимы к геометрической прогрессии, где постоянным является отношение, а не разность.
  • Если разность меняется от шага к шагу, последовательность не является арифметической.
  • Нельзя путать номер n с самим значением a_n.

Подробное объяснение

Арифметическая прогрессия - это последовательность с постоянным шагом. Чтобы перейти от первого члена к n-му, нужно сделать n-1 шагов, поэтому a_n=a_1+(n-1)d.

Формула суммы основана на попарном сложении членов с начала и конца. В арифметической прогрессии каждая такая пара дает одинаковую сумму a1+an, поэтому вся сумма равна среднему первого и последнего, умноженному на число членов.

Если d положительна, прогрессия возрастает; если d отрицательна, убывает; если d=0, все члены равны. Формулы работают во всех этих случаях, если сохранять знак разности.

В задачах прогрессии часто маскируются под расписания, накопления, ряды мест, ступени или равномерное изменение величины. Нужно распознать постоянную прибавку, а затем выбрать формулу для отдельного члена или суммы.

Перед решением полезно выписать первые два-три члена. Это помогает не перепутать первый член, номер и разность, а также увидеть, действительно ли последовательность арифметическая.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что разность между соседними членами постоянна.
  2. Запишите a1, d и нужный номер n.
  3. Для отдельного члена используйте a_n=a_1+(n-1)d.
  4. Для суммы сначала найдите последний член, если он не дан.
  5. Проверьте знак разности и разумность роста или убывания.

Историческая справка

Суммы арифметических последовательностей встречаются в древней математике, потому что они естественно возникают при счете рядов, площадей и регулярных построений. Известная легенда о юном Гауссе, быстро сложившем числа от 1 до 100 попарным способом, хорошо передает идею формулы суммы, хотя сама идея намного старше. В современной школьной алгебре прогрессии стали частью темы последовательностей и подготовкой к более общему понятию ряда. Арифметическая прогрессия является простейшей дискретной моделью линейного изменения, поэтому она связывает арифметику, алгебру и прикладные задачи. В учебной традиции эта запись закрепилась потому, что она коротко связывает вычисление с идеей темы и дает надежный способ проверять ответ через смысл, единицы и исходные условия задачи.

Историческая линия формулы

Формулы арифметической прогрессии не имеют одного автора. Попарное суммирование известно давно; имя Гаусса часто упоминают в учебной традиции как яркий пример метода, но не как единственный источник формулы. Поэтому в справочниках и учебниках корректно указывать не одного автора, а традицию и раздел математики или физики, из которого следует эта запись.

Пример

Дано: арифметическая прогрессия начинается с a1=4, разность d=3. Найти a20 и сумму первых 20 членов. Сначала a20=a1+(20-1)d=4+19*3=61. Затем S20=((a1+a20)*20)/2=(4+61)*10=650. Ответ: a20=61, S20=650. Проверка: члены идут 4, 7, 10, ..., каждый следующий на 3 больше. Среднее первого и последнего равно (4+61)/2=32,5, а 20 таких средних дают 650. Дополнительная проверка: сначала оцениваем порядок величины, затем смотрим на единицы и физический или математический смысл ответа. Такой контроль помогает заметить ошибку знака, масштаба или неверно выбранной формулы до записи окончательного результата.

Частая ошибка

Часто используют n вместо n-1 в формуле n-го члена и получают сдвиг на одну разность. Еще путают арифметическую прогрессию с геометрической и применяют сумму арифметической прогрессии к последовательности с постоянным множителем. При нахождении суммы забывают умножить на n или делят только один член на 2. В задачах с отрицательной разностью нужно сохранять знак d.

Практика

Задачи с решением

Десятый член

Условие. a1=2, d=5. Найдите a10.

Решение. a10=2+(10-1)*5=47.

Ответ. 47

Сумма

Условие. a1=3, a15=31. Найдите S15.

Решение. S15=((3+31)*15)/2=34*7,5=255.

Ответ. 255

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • Ю. Н. Макарычев. Алгебра. 9 класс
  • А. Г. Мордкович. Алгебра. 9 класс
  • ФИПИ. Кодификатор ОГЭ по математике

Связанные формулы

Математика

Степени и корни: основные свойства

$a^m a^n=a^{m+n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad \sqrt[n]{a}=a^{1/n}$

Свойства степеней и корней позволяют заменять произведения, частные и корни выражениями со степенями. Это базовый язык алгебраических преобразований в школьной математике.

Математика

Линейное уравнение с одной переменной

$ax+b=0,\quad x=-\frac{b}{a},\ a\ne0$

Линейное уравнение с одной переменной имеет вид ax+b=0 и при a≠0 решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при переменной.

Математика

Пропорция и основное свойство пропорции

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad \Longleftrightarrow \quad ad=bc$

Основное свойство пропорции говорит: если две дроби равны, то произведение крайних членов равно произведению средних. Это главный способ решать пропорции с неизвестным.