Математика / Алгебра

Линейное уравнение с одной переменной

Линейное уравнение с одной переменной имеет вид ax+b=0 и при a≠0 решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при переменной.

Опубликовано: 26 мая 2026 г.Обновлено: 26 мая 2026 г.

Формула

ax+b=0,\quad x=-\frac{b}{a},\ a\ne0

Обозначения

$x$: неизвестная переменная, зависит от задачи
$a$: коэффициент при переменной, не равный нулю, число
$b$: свободный член, число

Условия применения

Коэффициент a не равен нулю, иначе деление на a невозможно.
Уравнение приведено к виду ax+b=0 или может быть к нему преобразовано.
Все действия с уравнением выполняются одинаково для обеих частей.

Ограничения

Если a=0 и b≠0, решений нет; если a=0 и b=0, решений бесконечно много.
При уравнениях с дробями нужно учитывать значения, обращающие знаменатель в ноль.
Текстовые задачи требуют проверки смысла ответа: возраст, длина или количество не всегда могут быть отрицательными.

Подробное объяснение

Линейное уравнение с одной переменной - это уравнение, где неизвестная входит только в первой степени. Его графический смысл связан с точкой, где линейная функция ax+b принимает значение ноль.

Решение основано на равносильных преобразованиях. Сначала из обеих частей вычитают b или переносят b в другую часть, получая ax=-b. Затем обе части делят на ненулевой коэффициент a.

Если a не равен нулю, существует ровно одно решение. Это отражает то, что ненулевая линейная функция пересекает горизонтальный уровень 0 в одной точке.

В задачах линейные уравнения возникают, когда неизвестная величина участвует в сумме, разности или умножении на постоянный коэффициент. Поэтому они являются первым универсальным инструментом моделирования простых текстовых задач.

Перед применением формулы полезно привести уравнение к стандартному виду и проверить особые случаи. Деление на ноль и потеря ограничений в дробных уравнениях - главные источники неверных ответов.

Как пользоваться формулой

Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.
Перенесите все слагаемые с x в одну сторону, числа - в другую.
Получите вид ax+b=0 или ax=-b.
Разделите на a, если a≠0.
Подставьте найденный x в исходное уравнение для проверки.

Историческая справка

Линейные уравнения возникли из практических задач на неизвестное число, обмен, меры и распределение задолго до современной алгебры. В древнеегипетских и вавилонских текстах встречались задачи, которые сегодня записали бы линейными уравнениями. Ал-Хорезми в IX веке систематизировал методы восстановления и противопоставления, ставшие основой алгебраического решения уравнений. Современная буквенная запись сформировалась в Европе в XVI-XVII веках и сделала формулу x=-b/a короткой и универсальной. В школьном курсе линейное уравнение остается первым шагом от арифметики к символическому моделированию. В учебной традиции эта запись закрепилась потому, что она коротко связывает вычисление с идеей темы и дает надежный способ проверять ответ через смысл, единицы и исходные условия задачи.

Историческая линия формулы

Методы решения линейных уравнений имеют коллективную историю. Их связывают с древними практическими вычислениями, трактатом ал-Хорезми и развитием буквенной алгебры; современная формула является стандартным следствием равносильных преобразований.

Пример

Решим уравнение 3x-12=0. Здесь a=3, b=-12. По формуле x=-b/a=-(-12)/3=12/3=4. Можно решить и обычными действиями: 3x=12, x=4. Проверка подстановкой: 3*4-12=12-12=0, значит корень найден верно. Если бы коэффициент при x был равен нулю, формула не применялась бы: уравнение превратилось бы либо в невозможное числовое равенство, либо в тождество. Дополнительная проверка: сначала оцениваем порядок величины, затем смотрим на единицы и физический или математический смысл ответа. Такой контроль помогает заметить ошибку знака, масштаба или неверно выбранной формулы до записи окончательного результата.

Частая ошибка

Частая ошибка - переносить член через знак равенства без смены знака. Еще забывают делить весь свободный член на коэффициент a или делят только часть выражения. В уравнениях с дробями школьники иногда умножают на выражение с переменной и не проверяют, не стал ли знаменатель нулем. В текстовых задачах найденный корень нужно сверять с условием, потому что алгебраическое решение может не иметь практического смысла.

Практика

Задачи с решением

Простое уравнение

Условие. Решите 5x+20=0.

Решение. 5x=-20, x=-20/5=-4.

Ответ. x=-4

С дробным ответом

Условие. Решите 6x-5=0.

Решение. 6x=5, x=5/6.

Ответ. x=5/6

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

Ю. Н. Макарычев. Алгебра. 7 класс
А. Г. Мордкович. Алгебра. 7 класс
ФИПИ. Кодификатор ОГЭ по математике

Связанные формулы

Математика

Пропорция и основное свойство пропорции

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad \Longleftrightarrow \quad ad=bc$

Основное свойство пропорции говорит: если две дроби равны, то произведение крайних членов равно произведению средних. Это главный способ решать пропорции с неизвестным.

Математика

Модуль числа и его определение

$|x|=\begin{cases}x,\ x\ge0,\\-x,\ x<0.\end{cases}$

Модуль числа равен расстоянию от этого числа до нуля на координатной прямой. По определению он равен самому числу для x≥0 и противоположному числу для x<0.

Математика

Квадратный трехчлен и разложение по корням

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Квадратный трехчлен можно разложить на множители через его корни, если корни существуют. Формула связывает стандартный вид многочлена с точками, где он обращается в ноль.