Все формулы РФ

Математика / Алгебра

Модуль числа и его определение

Модуль числа равен расстоянию от этого числа до нуля на координатной прямой. По определению он равен самому числу для x≥0 и противоположному числу для x<0.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭЕГЭФормулы по математике за 6 классФормулы по математике за 7 классАлгебраФункции и графики

Формула

$$|x|=\begin{cases}x,\ x\ge0,\\-x,\ x<0.\end{cases}$$

Обозначения

$x$
действительное число или выражение под модулем, число
$|x|$
модуль, расстояние от x до нуля, число

Условия применения

  • Определение записано для действительных чисел на координатной прямой.
  • При выражении под модулем нужно отдельно рассматривать знак этого выражения.
  • Модуль расстояния всегда неотрицателен.

Ограничения

  • Нельзя просто убрать знак модуля без проверки знака выражения внутри.
  • Уравнение |x|=a не имеет решений при a<0.
  • Для комплексных чисел модуль определяется иначе: как расстояние до начала координат на плоскости.

Подробное объяснение

Модуль переводит число в расстояние до нуля. Расстояние не имеет знака, поэтому |x| всегда больше или равно нулю, независимо от того, где находится x на прямой.

Кусочное определение объясняет, как убрать знак модуля. Если x неотрицательно, модуль ничего не меняет. Если x отрицательно, нужно взять противоположное число, чтобы получить положительное расстояние.

Когда под модулем стоит выражение, например x-3, знак зависит от x. Поэтому задачи с модулем часто решают по случаям или через геометрический смысл расстояния.

График y=|x| имеет форму угла с вершиной в начале координат. Слева это прямая y=-x, справа - y=x. Такой график помогает понимать уравнения и неравенства с модулем.

Перед раскрытием модуля полезно записать условие знака. Иначе можно получить лишние решения или потерять часть ответа, особенно в уравнениях с несколькими модулями.

Отдельно полезно проговорить область применения: одна и та же запись может выглядеть формально правильно, но давать неверный вывод, если нарушены условия или изменен смысл величин.

Как пользоваться формулой

  1. Определите выражение, которое стоит внутри модуля.
  2. Найдите точки, где это выражение равно нулю.
  3. Разбейте числовую прямую на промежутки по знаку выражения.
  4. Раскройте модуль как выражение или как противоположное выражение.
  5. Проверьте найденные решения в исходной записи с модулем.

Историческая справка

Понятие абсолютной величины связано с развитием координатной прямой, алгебры и анализа. Хотя идея расстояния от нуля интуитивно проста, современная запись |x| стала частью математического языка сравнительно поздно, когда символика функций и неравенств стала стандартной. В XIX-XX веках модуль закрепился в анализе как способ записывать расстояние, погрешность и оценки. В школьной математике он соединяет арифметику отрицательных чисел, геометрию числовой прямой и первые кусочные функции. Поэтому определение модуля важно не только для простых уравнений, но и для будущих тем: пределов, метрик и норм. В учебной традиции эта запись закрепилась потому, что она коротко связывает вычисление с идеей темы и дает надежный способ проверять ответ через смысл, единицы и исходные условия задачи.

Историческая линия формулы

Определение модуля является частью общего развития алгебраической и аналитической символики. У него нет единственного автора; современная запись закрепилась как стандартный способ обозначать абсолютную величину и расстояние на числовой прямой.

Пример

Решим уравнение |x-3|=5. Модуль означает расстояние от x до 3 на числовой прямой. Поэтому возможны два случая: x-3=5 или x-3=-5. Из первого получаем x=8, из второго x=-2. Ответ: -2 и 8. Проверка: |-2-3|=|-5|=5, |8-3|=|5|=5. Оба числа находятся на расстоянии 5 от точки 3, поэтому оба подходят. Если бы справа стояло отрицательное число, решений не было бы, потому что модуль не может быть отрицательным. Дополнительная проверка: сначала оцениваем порядок величины, затем смотрим на единицы и физический или математический смысл ответа. Такой контроль помогает заметить ошибку знака, масштаба или неверно выбранной формулы до записи окончательного результата.

Частая ошибка

Часто пишут |x|=x для всех x и теряют отрицательные случаи. Еще забывают, что |x-a| - это расстояние от x до a, поэтому уравнение обычно дает два симметричных решения. В неравенствах с модулем путают знаки: |x|<a задает промежуток, а |x|>a - две внешние области. Также нельзя делить обе части на выражение под модулем без проверки его знака и нуля.

Практика

Задачи с решением

Простой модуль

Условие. Решите |x|=7.

Решение. Возможны x=7 и x=-7.

Ответ. x=±7

Сдвиг

Условие. Решите |x+2|=3.

Решение. x+2=3 или x+2=-3. Получаем x=1 или x=-5.

Ответ. 1; -5

Дополнительные источники

  • Н. Я. Виленкин. Математика. 6 класс
  • Ю. Н. Макарычев. Алгебра. 7 класс
  • ФИПИ. Кодификатор ОГЭ по математике

Связанные формулы

Математика

Линейное уравнение с одной переменной

$ax+b=0,\quad x=-\frac{b}{a},\ a\ne0$

Линейное уравнение с одной переменной имеет вид ax+b=0 и при a≠0 решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при переменной.

Математика

Степени и корни: основные свойства

$a^m a^n=a^{m+n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad \sqrt[n]{a}=a^{1/n}$

Свойства степеней и корней позволяют заменять произведения, частные и корни выражениями со степенями. Это базовый язык алгебраических преобразований в школьной математике.

Математика

Квадратный трехчлен и разложение по корням

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Квадратный трехчлен можно разложить на множители через его корни, если корни существуют. Формула связывает стандартный вид многочлена с точками, где он обращается в ноль.