Математика / Алгебра

Степени и корни: основные свойства

Свойства степеней и корней позволяют заменять произведения, частные и корни выражениями со степенями. Это базовый язык алгебраических преобразований в школьной математике.

Опубликовано: 26 мая 2026 г.Обновлено: 26 мая 2026 г.

Формула

a^m a^n=a^{m+n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad \sqrt[n]{a}=a^{1/n}

Обозначения

$a$: основание степени или подкоренное выражение, число или выражение
$m,n$: показатели степени или показатель корня, целые, рациональные или допустимые действительные числа
$\sqrt[n]{a}$: корень n-й степени из a, число

Условия применения

Для корня четной степени в действительных числах подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
При отрицательных и дробных показателях основание не должно быть равно нулю.
Правила с дробными показателями применяют с учетом области определения, особенно при переменных.

Ограничения

Нельзя складывать показатели при сложении степеней: a^m+a^n не равно a^{m+n}.
Переход от корней к дробным степеням над отрицательными числами требует осторожности в действительных числах.
При упрощении выражений с переменными иногда нужны модули, например \sqrt{x^2}=|x|.

Подробное объяснение

Свойства степеней описывают повторяющееся умножение. Если перемножаются степени с одинаковым основанием, общее число множителей складывается, поэтому a^m a^n=a^{m+n}.

Возведение степени в степень означает повторить уже имеющееся произведение несколько раз. Поэтому показатели перемножаются: (a^m)^n=a^{mn}. Это правило лежит в основе преобразований больших степенных выражений.

Корень можно понимать как обратную операцию к возведению в степень. Запись \sqrt[n]{a}=a^{1/n} объединяет корни и степени, но требует аккуратности с областью определения, особенно для четных корней.

В задачах свойства степеней позволяют упрощать выражения, сравнивать числа в научной записи, решать уравнения и преобразовывать формулы. Главное - проверять, какая операция выполняется: умножение, деление, возведение в степень или сложение.

Если в выражении есть переменные, алгебраическое преобразование должно сохранять область допустимых значений. Иногда формально красивая запись теряет решения или добавляет лишние значения, поэтому условия вроде a≠0 и a≥0 не являются мелочью.

Как пользоваться формулой

Определите, какие степени имеют одинаковое основание.
Для произведения сложите показатели, для частного вычтите показатели.
При степени степени перемножьте показатели.
Корень заменяйте дробным показателем только после проверки области определения.
Проверьте результат подстановкой простого допустимого числа.

Историческая справка

Степенная запись развивалась постепенно вместе с алгеброй. В античной математике квадраты и кубы понимались геометрически, а современная символика показателей появилась значительно позже. В XVI-XVII веках Виет, Декарт, Ньютон и другие математики сделали алгебраическую запись более компактной. Дробные и отрицательные показатели стали удобным языком для степенных рядов, уравнений и анализа. Корни долго записывались отдельными знаками, но идея представить их степенями с дробными показателями объединила разные операции. В школьном курсе эти правила выглядят простыми, однако они отражают большой исторический переход от словесной и геометрической алгебры к символическим преобразованиям.

Пример

Упростим выражение (x^3*x^2)^2/ x^4 при x≠0. Сначала внутри скобок степени с одинаковым основанием перемножаются: x^3*x^2=x^{3+2}=x^5. Затем возводим степень в степень: (x^5)^2=x^{10}. Делим степени с одинаковым основанием: x^{10}/x^4=x^{10-4}=x^6. Ответ: x^6. Проверка: если x=2, исходное выражение равно ((8*4)^2)/16=1024/16=64, а 2^6=64, значит преобразование согласовано. Условие x≠0 нужно из-за деления на x^4. Дополнительная проверка: сначала оцениваем порядок величины, затем смотрим на единицы и физический или математический смысл ответа. Такой контроль помогает заметить ошибку знака, масштаба или неверно выбранной формулы до записи окончательного результата.

Частая ошибка

Часто складывают основания или показатели там, где правило неприменимо: 2^3+2^4 не превращается в 2^7. Еще забывают область определения при делении на степень переменной и при четных корнях. Ошибка с корнем из квадрата особенно типична: \sqrt{x^2}=|x|, а не просто x для всех действительных x. При отрицательном основании дробные показатели нужно проверять отдельно, иначе можно получить выражение, не имеющее смысла в действительных числах.

Практика

Задачи с решением

Произведение степеней

Условие. Упростите a^4*a^7.

Решение. Основание одинаковое, показатели складываются: a^{4+7}=a^{11}.

Ответ. a^{11}

Корень как степень

Условие. Запишите \sqrt[3]{x^2} в виде степени.

Решение. Корень третьей степени соответствует показателю 1/3: \sqrt[3]{x^2}=(x^2)^{1/3}=x^{2/3}.

Ответ. x^{2/3}

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

А. Г. Мордкович. Алгебра. 7-9 класс
Ю. Н. Макарычев. Алгебра. 7-9 класс
ФИПИ. Кодификатор ОГЭ по математике

Связанные формулы

Математика

Формулы сокращенного умножения

$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2,\quad a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Формулы сокращенного умножения позволяют быстро раскрывать скобки и раскладывать выражения на множители. Они являются основой преобразования многочленов.

Математика

Квадратный трехчлен и разложение по корням

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Квадратный трехчлен можно разложить на множители через его корни, если корни существуют. Формула связывает стандартный вид многочлена с точками, где он обращается в ноль.

Математика

Модуль числа и его определение

$|x|=\begin{cases}x,\ x\ge0,\\-x,\ x<0.\end{cases}$

Модуль числа равен расстоянию от этого числа до нуля на координатной прямой. По определению он равен самому числу для x≥0 и противоположному числу для x<0.