Математика / Алгебра

Квадратный трехчлен и разложение по корням

Квадратный трехчлен можно разложить на множители через его корни, если корни существуют. Формула связывает стандартный вид многочлена с точками, где он обращается в ноль.

Опубликовано: 26 мая 2026 г.Обновлено: 26 мая 2026 г.

Формула

$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Обозначения

$a,b,c$: коэффициенты квадратного трехчлена, a≠0, числа
$x_1,x_2$: корни уравнения ax^2+bx+c=0, числа
$x$: переменная, число

Условия применения

Коэффициент a не равен нулю, иначе выражение не является квадратным трехчленом.
Корни x1 и x2 рассматриваются в той числовой области, где выполняется разложение.
Если корень двойной, формула принимает вид a(x-x1)^2.

Ограничения

В действительных числах при отрицательном дискриминанте разложения на линейные множители с действительными корнями нет.
Нельзя забывать множитель a перед скобками, если старший коэффициент не равен единице.
Корни уравнения и коэффициенты должны относиться к одному и тому же трехчлену после всех преобразований.

Подробное объяснение

Квадратный трехчлен задает параболу и квадратное уравнение. Его корни - это значения x, при которых выражение становится равным нулю. Разложение по корням делает эти нули видимыми.

Если x=x1, множитель x-x1 обращается в ноль; если x=x2, обращается в ноль второй множитель. Поэтому произведение a(x-x1)(x-x2) имеет те же корни и тот же старший коэффициент a.

Формула тесно связана с теоремой Виета. При раскрытии a(x-x1)(x-x2) получаем ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2, что согласуется с суммой и произведением корней.

В задачах разложение помогает сокращать дроби, решать неравенства методом интервалов и строить график. Корни становятся контрольными точками, где выражение меняет знак или касается оси.

Перед применением нужно проверить дискриминант и область чисел. Для школьных действительных задач отрицательный дискриминант означает, что линейных действительных множителей нет, хотя в комплексных числах разложение возможно.

Как пользоваться формулой

Убедитесь, что перед вами квадратный трехчлен и a≠0.
Найдите корни x1 и x2 через дискриминант, Виета или подбор.
Запишите множители в виде x-x1 и x-x2.
Не забудьте старший коэффициент a перед произведением.
Проверьте разложение раскрытием скобок.

Историческая справка

Квадратные уравнения решались еще в древневавилонской математике, часто через геометрические рассуждения о площадях. Ал-Хорезми систематизировал методы решения квадратных уравнений в IX веке, но современная символическая запись многочлена и его корней появилась значительно позже. Разложение по корням стало естественным в алгебре после развития буквенной символики, теории уравнений и понятия функции. В школьном курсе формула объединяет несколько исторических линий: решение квадратных уравнений, факторизацию многочленов и графическое понимание параболы как функции. В учебной традиции эта запись закрепилась потому, что она коротко связывает вычисление с идеей темы и дает надежный способ проверять ответ через смысл, единицы и исходные условия задачи.

Пример

Разложим трехчлен 2x^2-10x+12. Сначала вынесем 2: 2(x^2-5x+6). Корни уравнения x^2-5x+6=0 равны 2 и 3, потому что 2+3=5 и 2*3=6. Тогда по формуле 2x^2-10x+12=2(x-2)(x-3). Проверка раскрытием: 2(x^2-5x+6)=2x^2-10x+12. Ответ совпал с исходным трехчленом. Если забыть множитель 2, получится x^2-5x+6, то есть другой многочлен. Дополнительная проверка: сначала оцениваем порядок величины, затем смотрим на единицы и физический или математический смысл ответа. Такой контроль помогает заметить ошибку знака, масштаба или неверно выбранной формулы до записи окончательного результата.

Частая ошибка

Чаще всего забывают старший коэффициент a и пишут только (x-x1)(x-x2). Еще путают знаки: если корень равен 3, множитель имеет вид x-3, а не x+3. При отрицательном дискриминанте в действительных числах нельзя искусственно записывать действительные линейные множители. В рациональных выражениях перед сокращением нужно разложить и числитель, и знаменатель, а затем проверить запрещенные значения переменной.

Практика

Задачи с решением

Разложение

Условие. Разложите x^2-7x+10.

Решение. Корни 2 и 5, так как 2+5=7, 2*5=10. Значит x^2-7x+10=(x-2)(x-5).

Ответ. (x-2)(x-5)

Старший коэффициент

Условие. Разложите 3x^2-12x+9.

Решение. 3(x^2-4x+3), корни 1 и 3. Получаем 3(x-1)(x-3).

Ответ. 3(x-1)(x-3)

Дополнительные источники

Ю. Н. Макарычев. Алгебра. 8 класс
А. Г. Мордкович. Алгебра. 8-9 класс
ФИПИ. Кодификатор ОГЭ по математике

Связанные формулы

Математика

Формулы сокращенного умножения

$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2,\quad a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Формулы сокращенного умножения позволяют быстро раскрывать скобки и раскладывать выражения на множители. Они являются основой преобразования многочленов.

Математика

Линейное уравнение с одной переменной

$ax+b=0,\quad x=-\frac{b}{a},\ a\ne0$

Линейное уравнение с одной переменной имеет вид ax+b=0 и при a≠0 решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при переменной.

Математика

Степени и корни: основные свойства

$a^m a^n=a^{m+n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad \sqrt[n]{a}=a^{1/n}$

Свойства степеней и корней позволяют заменять произведения, частные и корни выражениями со степенями. Это базовый язык алгебраических преобразований в школьной математике.