Все формулы РФ

Математика / Алгебра

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения позволяют быстро раскрывать скобки и раскладывать выражения на множители. Они являются основой преобразования многочленов.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭЕГЭФормулы по математике за 7 классФормулы по математике за 8 классАлгебра

Формула

$$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2,\quad a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Обозначения

$a,b$
числа, переменные или алгебраические выражения, безразмерные выражения
$(a\pm b)^2$
квадрат суммы или разности, выражение
$a^2-b^2$
разность квадратов, выражение

Условия применения

  • Формулы применимы для любых выражений, для которых определены операции сложения, вычитания и умножения.
  • Перед применением нужно увидеть всю структуру: квадрат суммы, квадрат разности или разность квадратов.
  • Если выражения содержат дроби или корни, учитывают их область определения.

Ограничения

  • Сумма квадратов a^2+b^2 в действительных числах не раскладывается как (a+b)(a-b).
  • Нельзя забывать средний член 2ab в квадрате суммы или разности.
  • Формулы не отменяют порядок действий: сложное выражение внутри a или b нужно рассматривать целиком.

Подробное объяснение

Формулы сокращенного умножения - это заранее выведенные результаты раскрытия типовых скобок. Они экономят время и помогают увидеть структуру многочлена.

Квадрат суммы получается из произведения (a+b)(a+b). При раскрытии появляются a^2, два одинаковых произведения ab и b^2, поэтому средний член равен 2ab. Для квадрата разности знак среднего члена становится отрицательным.

Разность квадратов основана на взаимном уничтожении средних членов: (a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2. Поэтому эта формула работает только для разности, а не для суммы квадратов.

В задачах формулы используют в двух направлениях. Можно раскрывать скобки, чтобы привести многочлен к стандартному виду, или наоборот раскладывать выражение на множители для сокращения дробей и решения уравнений.

Ключевой навык - узнавать роли a и b. Ими могут быть не только отдельные буквы, но и выражения 2x, y+1, корень или дробь. Тогда формула применяется к целым блокам, а не к отдельным символам.

Как пользоваться формулой

  1. Определите тип выражения: квадрат суммы, квадрат разности или разность квадратов.
  2. Выделите блоки a и b целиком, включая коэффициенты и степени.
  3. Подставьте блоки в соответствующую формулу.
  4. Аккуратно раскройте или разложите выражение, сохраняя знаки.
  5. Проверьте результат обратным действием: раскрытием скобок или свертыванием.

Историческая справка

Идеи сокращенного умножения существовали задолго до современной символики. Геометрические доказательства квадратов суммы и разности можно увидеть уже в античной традиции как разбиение площади квадрата на части. Современный алгебраический вид стал возможен после развития буквенной символики в XVI-XVII веках. В школьной алгебре эти формулы закрепились как обязательный инструмент работы с многочленами, потому что они связывают геометрическую наглядность площади с символическим преобразованием. Со временем набор расширился до кубов суммы и разности, суммы и разности кубов, но базовые три формулы остаются первыми и самыми употребительными. В учебной традиции эта запись закрепилась потому, что она коротко связывает вычисление с идеей темы и дает надежный способ проверять ответ через смысл, единицы и исходные условия задачи.

Историческая линия формулы

Формулы не имеют одного автора: их геометрический смысл известен с древности, а современная запись появилась вместе с буквенной алгеброй. Корректнее говорить о развитии алгебраической символики, чем приписывать формулы одному математику.

Пример

Разложим на множители выражение 9x^2-25. Видим разность квадратов: 9x^2=(3x)^2, 25=5^2. По формуле a^2-b^2=(a-b)(a+b), где a=3x, b=5, получаем 9x^2-25=(3x-5)(3x+5). Проверка раскрытием скобок: (3x-5)(3x+5)=9x^2+15x-15x-25=9x^2-25. Средние члены взаимно уничтожились, значит структура разности квадратов распознана верно. Такая проверка особенно полезна, когда a и b сами являются сложными выражениями. Дополнительная проверка: сначала оцениваем порядок величины, затем смотрим на единицы и физический или математический смысл ответа. Такой контроль помогает заметить ошибку знака, масштаба или неверно выбранной формулы до записи окончательного результата.

Частая ошибка

Самая частая ошибка - писать (a+b)^2=a^2+b^2, теряя член 2ab. Еще путают квадрат разности и разность квадратов: (a-b)^2 и a^2-b^2 дают разные результаты. При разложении 16x^4-81 нужно видеть квадраты (4x^2)^2 и 9^2, а не только числовые квадраты. В выражениях с минусами полезно раскрыть одну строку проверки, чтобы не потерять знак среднего члена.

Практика

Задачи с решением

Квадрат суммы

Условие. Раскройте (x+4)^2.

Решение. (x+4)^2=x^2+2*x*4+4^2=x^2+8x+16.

Ответ. x^2+8x+16

Разность квадратов

Условие. Разложите 4y^2-49.

Решение. 4y^2=(2y)^2, 49=7^2, значит 4y^2-49=(2y-7)(2y+7).

Ответ. (2y-7)(2y+7)

Дополнительные источники

  • Ю. Н. Макарычев. Алгебра. 7 класс
  • А. Г. Мордкович. Алгебра. 7-9 класс
  • ФИПИ. Кодификатор ОГЭ по математике

Связанные формулы

Математика

Степени и корни: основные свойства

$a^m a^n=a^{m+n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad \sqrt[n]{a}=a^{1/n}$

Свойства степеней и корней позволяют заменять произведения, частные и корни выражениями со степенями. Это базовый язык алгебраических преобразований в школьной математике.

Математика

Квадратный трехчлен и разложение по корням

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Квадратный трехчлен можно разложить на множители через его корни, если корни существуют. Формула связывает стандартный вид многочлена с точками, где он обращается в ноль.

Математика

Линейное уравнение с одной переменной

$ax+b=0,\quad x=-\frac{b}{a},\ a\ne0$

Линейное уравнение с одной переменной имеет вид ax+b=0 и при a≠0 решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при переменной.