Все формулы РФ

Математика / Алгебра

Пропорция и основное свойство пропорции

Основное свойство пропорции говорит: если две дроби равны, то произведение крайних членов равно произведению средних. Это главный способ решать пропорции с неизвестным.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 6 классФормулы по математике за 7 классАлгебраАрифметикаКалькулятор

Формула

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad \Longleftrightarrow \quad ad=bc$$

Обозначения

$a,d$
крайние члены пропорции, числа или величины
$b,c$
средние члены пропорции, числа или величины
$b,d$
знаменатели дробей, не равны нулю

Условия применения

  • Знаменатели b и d не равны нулю.
  • Сравниваемые отношения описывают сопоставимые величины или одинаковые единицы.
  • Пропорция записана как равенство двух отношений.

Ограничения

  • Нельзя применять правило к сумме дробей или к выражению, которое не является равенством двух отношений.
  • В текстовых задачах нужно следить за порядком величин: числители и знаменатели должны соответствовать друг другу.
  • При величинах с единицами сначала приводят их к согласованному виду.

Подробное объяснение

Пропорция - это равенство двух отношений. Если a/b=c/d, то обе дроби задают один и тот же масштаб сравнения, а основное свойство переводит это равенство в произведение ad=bc.

Свойство получается умножением обеих частей равенства на bd, если b и d не равны нулю. Левая часть превращается в ad, правая - в bc. Поэтому правило крест-накрест является не трюком, а обычным равносильным преобразованием.

Пропорции особенно удобны, когда величины изменяются прямо пропорционально. Если в два раза больше товара, то в два раза больше стоимость; если масштаб постоянен, отношения соответствующих длин равны.

В задачах важно сохранить порядок соответствия. Если в первой дроби в числителе стоит длина на карте, то во второй дроби в числителе тоже должна стоять длина на карте, а не реальная длина.

После нахождения неизвестного полезно подставить ответ в исходную пропорцию. Такая проверка быстро обнаруживает перепутанные члены, неверный перевод единиц и арифметические ошибки.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите задачу как равенство двух отношений.
  2. Убедитесь, что знаменатели не равны нулю.
  3. Проверьте соответствие величин в числителях и знаменателях.
  4. Примените правило ad=bc и получите линейное уравнение.
  5. Решите уравнение и подставьте ответ в исходную пропорцию.

Историческая справка

Отношения и пропорции были центральной частью древней математики. В Евклидовых Началах теория отношений позволяла сравнивать величины еще до современной дробной символики. В торговле, землемерии, астрономии и архитектуре пропорции использовались для масштабирования и подобия. Современная запись через дроби и правило ad=bc стала привычной после развития алгебраической символики. В школьном курсе пропорция связывает арифметику дробей с алгеброй и геометрией подобия: одно и то же свойство помогает решать задачи на масштаб, проценты, скорость и подобные треугольники. В учебной традиции эта запись закрепилась потому, что она коротко связывает вычисление с идеей темы и дает надежный способ проверять ответ через смысл, единицы и исходные условия задачи.

Пример

Решим пропорцию x/12=5/8. По основному свойству пропорции произведение крайних равно произведению средних: 8x=12*5=60. Тогда x=60/8=7,5. Ответ: x=7,5. Проверка: 7,5/12=0,625 и 5/8=0,625, значит отношения равны. Если это задача на масштаб или проценты, дополнительно нужно проверить единицы: например, сантиметры должны сравниваться с сантиметрами, а метры с метрами после перевода. Дополнительная проверка: сначала оцениваем порядок величины, затем смотрим на единицы и физический или математический смысл ответа. Такой контроль помогает заметить ошибку знака, масштаба или неверно выбранной формулы до записи окончательного результата.

Частая ошибка

Часто путают, какие члены являются крайними и средними, особенно если пропорция записана в строку. Еще неверно меняют порядок величин: например, сравнивают массу первого раствора с концентрацией второго. В задачах на масштаб забывают перевести метры в сантиметры. Нельзя умножать крест-накрест, если знаменатель может быть равен нулю, не указав ограничение.

Практика

Задачи с решением

Неизвестный числитель

Условие. Решите x/9=4/6.

Решение. 6x=9*4=36, x=6.

Ответ. x=6

Неизвестный знаменатель

Условие. Решите 3/x=12/20.

Решение. 3*20=12x, 60=12x, x=5.

Ответ. x=5

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • Н. Я. Виленкин. Математика. 6 класс
  • Ю. Н. Макарычев. Алгебра. 7 класс
  • Евклид. Начала, книга V о пропорциях

Связанные формулы

Математика

Линейное уравнение с одной переменной

$ax+b=0,\quad x=-\frac{b}{a},\ a\ne0$

Линейное уравнение с одной переменной имеет вид ax+b=0 и при a≠0 решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при переменной.

Математика

Прогрессии: n-й член и сумма первых членов

$a_n=a_1+(n-1)d,\quad S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$

Для арифметической прогрессии n-й член находится через первый член и разность, а сумма первых n членов равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на n.