Все формулы РФ

Математика / Геометрия

Планиметрия: площадь треугольника через основание и высоту

Площадь треугольника равна половине произведения выбранного основания на высоту, опущенную к этому основанию. Формула является одной из главных в планиметрии.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭЕГЭФормулы по математике за 7 классФормулы по математике за 8 классГеометрияПланиметрия

Формула

$$S=\frac{1}{2}ah$$
Геометрический чертеж Основание и высота треугольника

На схеме основание a отмечено снизу, а высота h проведена перпендикулярно из противоположной вершины.

Площадь равна половине площади параллелограмма с теми же a и h.

Обозначения

$S$
площадь треугольника, квадратные единицы
$a$
выбранное основание треугольника, единицы длины
$h$
высота, проведенная к основанию a, единицы длины

Условия применения

  • Высота h должна быть перпендикулярна именно к основанию a или его продолжению.
  • Основание и высота измерены в одних единицах длины.
  • Формула применима к любому треугольнику: остроугольному, прямоугольному и тупоугольному.

Ограничения

  • Нельзя умножать сторону на любую другую сторону: нужна именно высота к выбранному основанию.
  • Если высота опущена к продолжению стороны в тупоугольном треугольнике, ее все равно берут как перпендикулярное расстояние.
  • Для криволинейных фигур или поверхностей в пространстве эта планиметрическая формула не применяется.

Подробное объяснение

Площадь треугольника через основание и высоту показывает, что треугольник занимает половину прямоугольника или параллелограмма с тем же основанием и высотой. Поэтому произведение a h делится на два.

Высота - это перпендикулярное расстояние от вершины до прямой, содержащей основание. Именно перпендикулярное расстояние определяет площадь, а не длина боковой стороны.

Формула работает для любого треугольника. В остроугольном высота обычно проходит внутри фигуры, в прямоугольном совпадает с одним из катетов, а в тупоугольном может попадать на продолжение стороны.

В задачах формула часто используется не только для вычисления площади, но и для нахождения неизвестной высоты или основания. Если площадь известна, можно выразить h=2S/a.

Перед решением полезно отметить на рисунке, к какой стороне проведена высота. В планиметрии многие ошибки возникают не в арифметике, а в выборе несоответствующей пары основание - высота.

Как пользоваться формулой

  1. Выберите сторону треугольника как основание a.
  2. Найдите или проведите высоту, перпендикулярную к этому основанию.
  3. Проверьте, что a и h записаны в одних единицах.
  4. Подставьте значения в S=ah/2.
  5. Если ищется высота или основание, выразите неизвестную из той же формулы.

Историческая справка

Формулы площадей появились в древней практической геометрии из задач землемерия, строительства и астрономии. Египетские, вавилонские и греческие математики умели вычислять площади простых фигур, а Евклидова геометрия дала строгие доказательства соотношений между фигурами. Площадь треугольника через основание и высоту естественно выводится из площади параллелограмма: два равных треугольника составляют параллелограмм. В школьной планиметрии эта формула остается первой универсальной формулой площади треугольника и служит основой для более сложных формул Герона, площади через две стороны и угол, координатной площади. В учебной традиции эта запись закрепилась потому, что она коротко связывает вычисление с идеей темы и дает надежный способ проверять ответ через смысл, единицы и исходные условия задачи.

Пример

Дано: основание треугольника a=12 см, высота к нему h=7 см. Найти площадь. Подставляем: S=1/2*12*7=42 см^2. Ответ: площадь равна 42 см^2. Проверка: если построить параллелограмм из двух равных таких треугольников, его площадь будет a*h=84 см^2, а один треугольник занимает ровно половину. Единицы тоже согласованы: сантиметры умножаются на сантиметры, поэтому получается квадратный сантиметр. Дополнительная проверка: сначала оцениваем порядок величины, затем смотрим на единицы и физический или математический смысл ответа. Такой контроль помогает заметить ошибку знака, масштаба или неверно выбранной формулы до записи окончательного результата.

Частая ошибка

Главная ошибка - брать высоту, проведенную к другой стороне, и умножать ее на выбранное основание. Еще забывают множитель 1/2 и получают площадь соответствующего параллелограмма. В тупоугольном треугольнике высота может лежать вне фигуры, но это не делает формулу неприменимой. При переводе единиц нельзя смешивать сантиметры и метры без пересчета, иначе площадь изменится в 10000 раз.

Практика

Задачи с решением

Площадь

Условие. a=10 см, h=6 см. Найдите S.

Решение. S=1/2*10*6=30 см^2.

Ответ. 30 см^2

Высота

Условие. S=48 см^2, a=12 см. Найдите h.

Решение. h=2S/a=2*48/12=8 см.

Ответ. 8 см

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • Л. С. Атанасян. Геометрия. 7-9 класс
  • А. В. Погорелов. Геометрия. 7-11 класс
  • ФИПИ. Кодификатор ОГЭ и ЕГЭ по математике

Связанные формулы

Математика

Тригонометрия: основное тождество

$\sin^2 x+\cos^2 x=1,\quad \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного угла, а тангенс выражается как отношение синуса к косинусу. Эти формулы лежат в основе преобразований.

Математика

Пропорция и основное свойство пропорции

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad \Longleftrightarrow \quad ad=bc$

Основное свойство пропорции говорит: если две дроби равны, то произведение крайних членов равно произведению средних. Это главный способ решать пропорции с неизвестным.

Математика

Линейное уравнение с одной переменной

$ax+b=0,\quad x=-\frac{b}{a},\ a\ne0$

Линейное уравнение с одной переменной имеет вид ax+b=0 и при a≠0 решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при переменной.