Все формулы РФ

Математика / Тригонометрия

Тригонометрия: основное тождество

Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного угла, а тангенс выражается как отношение синуса к косинусу. Эти формулы лежат в основе преобразований.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭЕГЭФормулы по математике за 8 классФормулы по математике за 9 классФормулы по математике за 10 классТригонометрия

Формула

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1,\quad \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

Обозначения

$x$
угол или аргумент тригонометрических функций, радианы или градусы
$\sin x$
синус угла, безразмерный
$\cos x$
косинус угла, безразмерный
$\tan x$
тангенс угла, безразмерный

Условия применения

  • Синус и косинус берутся от одного и того же угла x.
  • Формула тангенса применима только при cos x≠0.
  • Единицы угла должны быть согласованы с настройкой вычислений: градусы или радианы.

Ограничения

  • Нельзя заменять sin^2 x+cos^2 y на 1, если углы разные.
  • Тангенс не определен при cos x=0.
  • При извлечении корня из sin^2 x или cos^2 x нужно учитывать знак функции.

Подробное объяснение

Основное тождество следует из единичной окружности. Точка на окружности радиуса 1 имеет координаты (cos x, sin x), а по теореме Пифагора сумма квадратов координат равна 1.

Тангенс как отношение sin x к cos x показывает наклон радиуса или отношение противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике. Но это отношение имеет смысл только там, где cos x не равен нулю.

Тождество позволяет выражать одну функцию через другую: sin^2 x=1-cos^2 x и cos^2 x=1-sin^2 x. Однако при переходе к самой функции появляется выбор знака.

В задачах эти формулы используются для упрощения выражений, преобразования уравнений и вычисления неизвестных тригонометрических функций по одной известной. Они также служат проверкой: значения синуса и косинуса не могут давать сумму квадратов, отличную от 1.

Перед применением нужно убедиться, что все функции относятся к одному углу. Если углы разные или есть сдвиги, нужны другие формулы: приведения, сложения или двойного угла.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что синус и косинус относятся к одному аргументу.
  2. Используйте sin^2 x+cos^2 x=1 для нахождения квадрата неизвестной функции.
  3. Определите знак по четверти или условию задачи.
  4. Для тангенса разделите синус на косинус, если cos x≠0.
  5. Проверьте результат подстановкой в основное тождество.

Историческая справка

Тригонометрия выросла из астрономии, геометрии и задач измерения расстояний. Древнегреческие, индийские и арабские математики развивали таблицы хорд, синусов и тангенсов для астрономических расчетов. Связь синуса и косинуса через единичную окружность стала особенно прозрачной после развития аналитической геометрии и координатного метода. Основное тождество фактически является теоремой Пифагора в координатной форме, поэтому соединяет древнюю геометрию с современным функциональным языком. В школьном курсе оно открывает путь к преобразованиям, графикам и тригонометрическим уравнениям. В учебной традиции эта запись закрепилась потому, что она коротко связывает вычисление с идеей темы и дает надежный способ проверять ответ через смысл, единицы и исходные условия задачи.

Пример

Дано: cos x=0,6, угол x лежит в первой четверти. Найти sin x и tan x. По основному тождеству sin^2 x=1-cos^2 x=1-0,36=0,64. В первой четверти синус положителен, значит sin x=0,8. Тогда tan x=sin x/cos x=0,8/0,6=4/3. Ответ: sin x=0,8, tan x=4/3. Проверка: 0,8^2+0,6^2=0,64+0,36=1. Условие о четверти важно: без него знак синуса мог бы быть другим. Дополнительная проверка: сначала оцениваем порядок величины, затем смотрим на единицы и физический или математический смысл ответа. Такой контроль помогает заметить ошибку знака, масштаба или неверно выбранной формулы до записи окончательного результата.

Частая ошибка

Частая ошибка - после sin^2 x=0,64 писать sin x=0,8 без учета четверти или знака. Еще путают квадрат функции и функцию двойного угла: sin^2 x не равен sin 2x. В формуле тангенса забывают условие cos x≠0. При решении уравнений иногда делят на sin x или cos x и теряют решения, где делитель равен нулю.

Практика

Задачи с решением

По синусу

Условие. sin x=0,5, x в первой четверти. Найдите cos x.

Решение. cos^2 x=1-0,25=0,75, cos x=√0,75=√3/2.

Ответ. √3/2

Тангенс

Условие. sin x=3/5, cos x=4/5. Найдите tan x.

Решение. tan x=(3/5)/(4/5)=3/4.

Ответ. 3/4

Дополнительные источники

  • А. Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс
  • Л. С. Атанасян. Геометрия. 7-9 класс
  • ФИПИ. Кодификатор ОГЭ и ЕГЭ по математике

Связанные формулы

Математика

Степени и корни: основные свойства

$a^m a^n=a^{m+n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad \sqrt[n]{a}=a^{1/n}$

Свойства степеней и корней позволяют заменять произведения, частные и корни выражениями со степенями. Это базовый язык алгебраических преобразований в школьной математике.

Математика

Квадратный трехчлен и разложение по корням

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Квадратный трехчлен можно разложить на множители через его корни, если корни существуют. Формула связывает стандартный вид многочлена с точками, где он обращается в ноль.