Математика / Математический анализ

Теорема Лагранжа о среднем: производная и наклон хорды

Теорема Лагранжа о среднем связывает среднюю скорость изменения функции на [a,b] с её мгновенной скоростью в некоторой внутренней точке: найдётся c, для которого f′(c)=(f(b)−f(a))/(b−a). Функция должна быть непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри.

Опубликовано: 5 ноября 2026 г.Обновлено: 5 ноября 2026 г.

Формула

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\quad c\in(a,b)

Схема Секущая и касательная у параболы

На отрезке от 1 до 3 обе прямые имеют наклон 4 в координатах графика.

Обозначения

$f$: вещественная функция на отрезке [a,b], зависит от задачи
$a,b$: концы отрезка, a<b, единицы аргумента
$c$: внутренняя точка, где производная равна наклону хорды, единицы аргумента
$f'(c)$: мгновенная скорость изменения функции в c, единицы f на единицу аргумента
$(f(b)-f(a))/(b-a)$: средний наклон графика между концами, единицы f на единицу аргумента

Условия применения

Функция f должна быть непрерывна на замкнутом отрезке [a,b] и дифференцируема на открытом интервале (a,b). При этих гипотезах существует хотя бы одно c строго между a и b, в котором производная совпадает с отношением приращения функции к приращению аргумента. Если a=b, наклон хорды не определён, поэтому требуется a<b.

Ограничения

Теорема гарантирует существование точки, но не говорит, что она единственна, и не всегда помогает вычислить её явно. Если функция имеет скачок на отрезке или излом внутри, гипотезы нарушены. Равенство производной наклону секущей не означает, что функция линейна или что это равенство верно во всех точках. Для комплекснозначных функций и функций нескольких переменных нужны другие формулировки.

Подробное объяснение

Числитель f(b)−f(a) — полное изменение функции, а b−a — длина промежутка по аргументу. Их отношение даёт среднюю скорость изменения. Теорема утверждает, что при непрерывности и внутренней дифференцируемости мгновенная скорость где-то достигает этого среднего значения. Доказательство сводит задачу к теореме Ролля. Вычтем из f(x) прямую, проходящую через точки (a,f(a)) и (b,f(b)). Полученная функция равна нулю на обоих концах; в точке c её производная равна нулю. После дифференцирования это условие превращается в равенство производной f наклону исходной хорды. На графике отношение приращений задаёт наклон секущей, а f'(c) — наклон касательной. Параллельность этих прямых и есть геометрический смысл теоремы. Горизонтальный случай, когда f(a)=f(b), даёт теорему Ролля. Если наклон хорды положителен, гарантированная производная тоже положительна в выбранной точке, однако это не означает, что производная положительна повсюду. Из формулы следует полезная оценка. Если |f'(x)|≤M внутри отрезка, то |f(b)−f(a)|≤M|b−a|. Так контролируют изменение функции, оценивают ошибку приближения и доказывают, что функция не может иметь два корня при производной строго одного знака. Для скорости движения теорема говорит, что при непрерывном пути и существовании скорости на интервале мгновенная скорость совпадает со средней хотя бы в один момент. Гипотезы нельзя заменять интуитивным видом графика. Непрерывность на замкнутом отрезке исключает разрывы у концов, а дифференцируемость внутри исключает углы и вертикальные касательные, где конечная производная может не существовать. Теорема остаётся утверждением существования: для нахождения c в конкретной задаче нужно решить уравнение f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a).

Как пользоваться формулой

Запишите отрезок с a<b и проверьте непрерывность функции на всём замкнутом промежутке [a,b].
Проверьте дифференцируемость на открытом интервале (a,b), отдельно проверив возможные изломы и разрывы.
Вычислите f(a) и f(b), затем найдите средний наклон хорды по отношению их приращений.
Найдите производную f′(x) и составьте уравнение, приравняв её среднему наклону хорды.
Решите уравнение относительно c и оставьте только решения, строго лежащие внутри (a,b).
Подставьте каждое найденное c обратно в f′ и проверьте совпадение со средним наклоном.

Историческая справка

Жозеф Луи Лагранж изложил свой подход к функциям в книге Théorie des fonctions analytiques, опубликованной в 1797 году на основе лекций по анализу. Он стремился обосновать дифференциальное исчисление с помощью алгебраических операций. Вопрос о связи производной с конечным приращением относится к этой программе, а современная формулировка использует предел в определении производной.

В начале XIX века Огюстен Луи Коши разработал строгое изложение основ анализа. Его Cours d’analyse вышел в 1821 году. В современных учебниках равенство среднего и мгновенного наклона доказывают, сводя задачу к теореме Ролля. Так становится видно, где нужны непрерывность на замкнутом отрезке и дифференцируемость внутри него.

Историческая линия формулы

В русскоязычной учебной традиции теорему о среднем значении производной называют именем Лагранжа. Его книга 1797 года относится к истории оснований дифференциального исчисления. В современной формулировке существенны явные условия непрерывности и дифференцируемости.

Пример

Задача. Для f(x)=x² на отрезке [1,3] найти точку, существование которой гарантирует теорема Лагранжа. Полином непрерывен на [1,3] и дифференцируем на (1,3), поэтому условия выполнены. Средний наклон равен (f(3)−f(1))/(3−1)=(9−1)/2=4. Производная f'(x)=2x. Решаем 2c=4 и получаем c=2, причём 1<2<3. Ответ: c=2. Проверка: f'(2)=4, что совпадает с наклоном хорды. Если x измеряется в метрах, а f — например, в метрах высоты, оба наклона имеют единицы метров на метр; при времени в аргументе они означали бы скорость. Теорема подтверждает наличие хотя бы одной подходящей точки, но единственность здесь следует уже из решения линейного уравнения 2c=4.

Частая ошибка

Не проверять обе гипотезы: непрерывность нужна на [a,b], дифференцируемость — на (a,b). Путать средний наклон с f(b)/f(a): нужны разности и в числителе, и в знаменателе. Решить уравнение для c, но не проверить, что c лежит строго внутри интервала. Делать вывод, что равенство производной среднему наклону выполняется для всех точек или что функция линейна. Забывать единицы наклона: они равны единицам f, делённым на единицы аргумента.

Практика

Задачи с решением

Средний наклон кубической функции

Условие. Для f(x)=x³ на отрезке [0,2] найти внутреннюю точку, где мгновенный наклон равен среднему наклону хорды.

Решение. Средний наклон равен (8−0)/(2−0)=4. Производная f'(x)=3x². Решение 3c²=4 с условием c∈(0,2) даёт c=2/√3≈1,155.

Ответ. c=2/√3.

Логарифм на отрезке от 1 до e

Условие. Для f(x)=ln x на [1,e] вычислить средний наклон и определить точку, где производная принимает это значение.

Решение. Средний наклон равен (ln e−ln 1)/(e−1)=1/(e−1). Производная равна 1/x, поэтому 1/c=1/(e−1) и c=e−1. Так как e−1 находится между 1 и e, условие выполнено.

Ответ. c=e−1.

Дополнительные источники

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cauchy/
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lagrange/
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Rolle/
https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-4-the-mean-value-theorem

Связанные формулы

Математика

Теорема Ролля: условие нулевой производной

$f(a)=f(b) \Rightarrow \exists c\in(a,b): f'(c)=0$

Теорема Ролля утверждает: если функция непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема внутри него и принимает на концах одинаковые значения, то хотя бы в одной внутренней точке её производная равна нулю. Геометрически график имеет там горизонтальную касательную.

Математика

Признак возрастания и убывания через производную

$f'(x)>0\Rightarrow f\uparrow,\quad f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow$

Если производная положительна на интервале, функция возрастает; если производная отрицательна на интервале, функция убывает.

Математика

Определение производной через предел

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Производная функции в точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует.

Математика

Формула Тейлора с остаточным членом

$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x),\quad R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

Формула Тейлора с остаточным членом: формула f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x),\quad R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.