Математика / Математический анализ

Теорема Ролля: условие нулевой производной

Теорема Ролля утверждает: если функция непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема внутри него и принимает на концах одинаковые значения, то хотя бы в одной внутренней точке её производная равна нулю. Геометрически график имеет там горизонтальную касательную.

Опубликовано: 5 ноября 2026 г.Обновлено: 5 ноября 2026 г.

Формула

f(a)=f(b) \Rightarrow \exists c\in(a,b): f'(c)=0

Схема Горизонтальная касательная в вершине

На концах отрезка значение равно нулю. При x=2 производная равна нулю.

Обозначения

$f$: вещественная функция, рассматриваемая на отрезке, зависит от задачи
$a,b$: концы отрезка, где a<b, единицы аргумента
$c$: внутренняя точка, гарантированная теоремой, единицы аргумента
$f'(c)$: производная функции в точке c; равна нулю, единицы f на единицу аргумента

Условия применения

Функция должна быть непрерывна на всём замкнутом отрезке [a,b] и дифференцируема в каждой точке открытого интервала (a,b). Кроме того, значения на концах должны совпадать: f(a)=f(b). Непрерывность только внутри интервала недостаточна: разрыв на конце может разрушить вывод. Дифференцируемость на концах не требуется.

Ограничения

Теорема говорит о существовании хотя бы одной точки c и не даёт способа её найти без дополнительных вычислений. Равенство производной нулю не означает, что график обязательно имеет максимум или минимум: стационарная точка может быть перегибом или точкой плато. Если нарушено хотя бы одно условие, заключение может быть ложным; например, непрерывная функция с изломом может соединять одинаковые концы без горизонтальной касательной.

Подробное объяснение

Ролль связывает равенство концевых значений с поведением производной внутри промежутка. Если функция постоянна, производная равна нулю во всех внутренних точках. Если она не постоянна, то при непрерывности достигает на отрезке максимума и минимума; поскольку концы имеют одинаковую высоту, хотя бы одно отличающееся от них экстремальное значение достигается внутри. В точке внутреннего локального экстремума дифференцируемая функция имеет нулевую производную. Именно сочетание трёх предпосылок важно: непрерывность на замкнутом отрезке обеспечивает достижение наибольшего и наименьшего значений, равенство f(a)=f(b) не позволяет обоим отличающимся экстремумам находиться только на концах, а дифференцируемость превращает внутренний экстремум в условие f'(c)=0. Удаление любого звена требует отдельного контрпримера или усиления гипотез. Геометрически секущая, соединяющая точки графика над a и b, горизонтальна, поскольку её концы имеют одну высоту. Теорема гарантирует, что где-то между ними касательная тоже горизонтальна. Это не утверждение о единственности: у параболы с равными концами обычно есть одна такая точка, а у более сложной функции их может быть несколько или даже бесконечно много. Практическое следствие касается корней. Если дифференцируемая функция имела бы три различных корня, то между первой и второй, а также между второй и третьей точками можно применить Ролля; поэтому производная имеет как минимум два нуля. Так строят оценки числа корней через число нулей производной и доказывают единственность решений. Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа о среднем. Для последней вычитают линейную функцию, соединяющую значения f(a) и f(b); остаток на концах равен нулю, и к нему применяют Ролля. Поэтому проверка непрерывности, дифференцируемости и значений на концах — не формальность, а именно тот шаг, который позволяет перейти от общей хорды к касательной.

Как пользоваться формулой

Запишите отрезок [a,b] и установите, что f непрерывна на нём целиком, включая концевые значения.
Проверьте отдельно дифференцируемость в каждой точке открытого интервала (a,b); концы отрезка не включаются.
Подставьте a и b в исходную функцию и вычислите оба значения, проверяя область определения и знаки.
Сопоставьте найденные значения: применяйте теорему только при точном равенстве f(a)=f(b).
Сформулируйте вывод как существование внутренней точки c с f'(c)=0; не утверждайте, что она единственна.
Чтобы найти c в конкретном примере, решите уравнение f'(x)=0 и оставьте только корни строго внутри интервала.

Историческая справка

В 1691 году Мишель Ролль опубликовал работу о решении уравнений всех степеней. Он обосновывал метод каскадов, который уже изложил в трактате по алгебре. Метод связывал поиск корней многочлена с исследованием вспомогательных многочленов. Именно в этом алгебраическом контексте историки находят предшественника современной теоремы.

Ролль работал с уравнениями и не формулировал свой результат на языке современной дифференцируемости. По данным MacTutor, название «теорема Ролля» ввёл Джусто Беллавитис в 1846 году. В современном анализе результат доказывают через достижение максимума и минимума непрерывной функцией. Эта форма охватывает и функции, которые нельзя записать многочленом, а также случай любого общего значения на концах.

Историческая линия формулы

Имя Мишеля Ролля связано с алгебраическим результатом о корнях многочленов из публикации 1691 года. Название засвидетельствовано у Джусто Беллавитиса в 1846 году. Современная формулировка выражена через непрерывность на отрезке и производную во внутренних точках.

Пример

Задача. Найти все точки, которые теорема Ролля гарантирует для f(x)=x²−4x+3 на [1,3]. Функция-полином непрерывна на [1,3] и дифференцируема внутри. На концах f(1)=1−4+3=0 и f(3)=9−12+3=0, поэтому условия выполнены. Производная f'(x)=2x−4. Из 2c−4=0 получаем c=2; эта точка лежит в (1,3). Ответ: c=2. Проверка: вершина параболы x²−4x+3 находится при x=−(−4)/(2·1)=2, а касательная в вершине горизонтальна. Значение аргумента и c безразмерны, если x задан без единиц; производная здесь имеет единицы функции на единицу x. Теорема гарантирует существование, а решение уравнения производной в данном конкретном примере находит точку явно.

Частая ошибка

Не проверять непрерывность именно на закрытом отрезке: разрыв может нарушить достижение экстремума. Проверять производную на концах вместо интервала (a,b): там она не нужна. Путать равенство значений f(a)=f(b) с равенством нулю самих значений: общий уровень может быть любым. Делать вывод о единственности c: теорема гарантирует лишь одну или более точек. Наконец, из f'(c)=0 нельзя автоматически заключать, что c — экстремум.

Практика

Задачи с решением

Две стационарные точки внутри отрезка

Условие. Проверить, какие точки с нулевой производной гарантирует теорема Ролля для f(x)=x³−3x на всём отрезке [−√3, √3].

Решение. Полином дифференцируем, а f(−√3)=f(√3)=0. Производная f'(x)=3x²−3; уравнение f'(x)=0 даёт x=−1 и x=1, обе точки лежат внутри (−√3,√3).

Ответ. c=−1 и c=1.

Ровно одна точка Ролля

Условие. Для f(x)=(x−1)² на [0,2] проверить условия теоремы Ролля и найти внутреннюю точку, где касательная горизонтальна.

Решение. Функция непрерывна и дифференцируема, f(0)=f(2)=1. Производная f'(x)=2(x−1); равенство нулю даёт x=1, принадлежащий (0,2).

Ответ. c=1.

Дополнительные источники

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Rolle/
https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-4-the-mean-value-theorem

Связанные формулы

Математика

Теорема о среднем для определенного интеграла

$\int_a^b f(x)\,dx=f(c)(b-a),\quad c\in[a,b]$

Теорема о среднем утверждает, что интеграл непрерывной функции на отрезке равен значению функции в некоторой точке, умноженному на длину отрезка. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

Математика

Признак возрастания и убывания через производную

$f'(x)>0\Rightarrow f\uparrow,\quad f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow$

Если производная положительна на интервале, функция возрастает; если производная отрицательна на интервале, функция убывает.

Математика

Формула Тейлора с остаточным членом

$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x),\quad R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

Формула Тейлора с остаточным членом: формула f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x),\quad R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Математика

Определение производной через предел

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Производная функции в точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует.