Все формулы РФ

Химия / Химическая термодинамика

Поверхностное натяжение по силе на пластине Вильгельми

Пластина Вильгельми измеряет натяжение по вертикальной силе на линии смачивания. Из показания после тарирования выделяют капиллярную силу, учитывая выталкивание погружённой части.

Опубликовано: Обновлено:

Ручной расчетСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаДиагностика условийХимическая термодинамика

Формула

$$\gamma=\frac{F_{\mathrm{wet}}+\rho g A h}{P\cos\theta}$$
Схема Выталкивание при погружении пластины
02.557.51001234Сила вниз, мНh, ммПоказаниеКапиллярная сила

Капиллярный вклад 3,024 мН постоянен, а показание вниз уменьшается с глубиной.

Обозначения

$γ$
натяжение жидкости, Н/м
$F_wet$
сила вниз после вычитания веса сухой пластины, Н
$ρ$
плотность жидкости при пренебрежимой плотности газа, кг/м³
$g$
ускорение свободного падения, м/с²
$A$
площадь горизонтального сечения, м²
$h$
глубина погружения ниже невозмущённого уровня, м
$P$
периметр сечения пластины, м
$θ$
краевой угол внутри жидкости, ° или рад

Условия применения

Пластина вертикальна, её сечение постоянно, а поверхность равномерно смачивается по периметру. Сила записана с положительным направлением вниз после тарирования. Угол известен, жидкость неподвижна, плотностью газа можно пренебречь.

Ограничения

При угле около 90° деление на косинус усиливает погрешность. Неодинаковое смачивание разных граней требует суммировать силы по отдельным участкам линии контакта. Показание при движении пластины может зависеть от скорости и истории смачивания.

Подробное объяснение

Мениск тянет вдоль поверхности жидкости. На вертикальной пластине вниз направлена составляющая γ cosθ на единицу длины линии контакта. Для равномерного угла по контуру суммарная капиллярная сила равна γP cosθ.

Измеритель после вычитания веса сухой пластины видит капиллярную силу и выталкивание. Архимедова сила направлена вверх и равна ρgAh. Поэтому из силы вниз сначала восстанавливают капиллярный вклад, прибавляя ρgAh. При нулевой глубине поправка исчезает.

У прямоугольной пластины ширины w и толщины t периметр равен 2(w+t), а площадь сечения равна wt. У тонкой пластинки выталкивание при том же периметре слабее. Если при погружении θ остаётся постоянным, график силы от h должен быть линейным с наклоном −ρgA.

Полностью смачиваемая пластина даёт cosθ≈1. Это свойство проверяют для реальной поверхности, потому что загрязнение или смена жидкости меняют угол. При измерении угла уже известное γ можно использовать в обратном расчёте по тому же балансу сил.

Как пользоваться формулой

  1. Измерьте ширину и толщину вертикальной пластины. По ним найдите периметр линии контакта и площадь сечения.
  2. Обнулите показание на сухой пластине и переведите разность показаний в силу, положительную вниз.
  3. По глубине погружения, площади, плотности и ускорению рассчитайте направленную вверх архимедову поправку.
  4. Прибавьте поправку к измеренной силе и разделите на произведение периметра и косинуса известного угла.

Историческая справка

В 1863 году Людвиг Вильгельми опубликовал работу о капиллярных постоянных спирта и зависимости измерения от материала и формы смачиваемого тела. Имя закрепилось за измерением силы, которую граница жидкости прикладывает к вертикально подвешенной пластине.

Современные опыты с тензометрией используют тот же баланс и отдельно учитывают глубину. Исследование с измерением смачивания на разных масштабах в Communications Physics показывает, как по силе на вертикальной пластине находят углы при погружении и подъёме. Периметр в этой постановке отвечает за капиллярную силу, а площадь поперечного сечения — за изменение выталкивания по мере погружения пластины.

Историческая линия формулы

Метод назван по работе Вильгельми 1863 года. Современная формула разделяет показание тензометра на проекцию силы натяжения вдоль пластины и архимедов вклад. Тарирование и определение угла относятся к обработке конкретного опыта.

Пример

Полностью смачиваемая пластина имеет ширину 20 мм и толщину 1 мм. При h=5 мм показание вниз после тарирования равно 2,043 мН. Примем ρ=1000 кг/м³ и g=9,81 м/с². Периметр равен 42 мм, A=20 мм². Выталкивание 1000·9,81·20·10⁻⁶·0,005=0,981 мН. Капиллярная сила равна 2,043+0,981=3,024 мН. Делим её на 42 мм и получаем γ=0,072 Н/м, или 72 мН/м. В проверке мН/мм равен Н/м. Если бы выталкивание забыли, получилось бы около 48,64 мН/м. Эта ошибка уменьшает результат, поскольку выталкивание направлено вверх и ослабляет показание вниз.

Частая ошибка

В расчёте используйте периметр 2(w+t), а для объёма только площадь wt. При направлении силы вниз прибавляйте выталкивание. Разность показаний весов в единицах массы сначала переведите в силу. Угол, отличный от нуля, требует явного множителя cosθ в знаменателе.

Практика

Задачи с решением

Показание на уровне поверхности

Условие. Периметр 30 мм, глубина 0, угол 60°, натяжение 0,060 Н/м. Найдите силу вниз.

Решение. Умножаем 0,060 на 0,030 и на cos60°=0,5.

Ответ. 0,900 мН.

Изменение с глубиной

Условие. Для пластины примера глубина увеличилась с 5 до 8 мм, угол постоянный. Как изменится показание?

Решение. Изменение выталкивания равно 1000·9,81·20·10⁻⁶·0,003. Сила вниз уменьшится на эту величину.

Ответ. Уменьшится на 0,5886 мН, до 1,4544 мН.

Дополнительные источники

  • https://doi.org/10.1002/andp.18631950602
  • https://www.nature.com/articles/s42005-023-01268-z
  • https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC10688178/

Связанные формулы

Химия

Уравнение Юнга для равновесного краевого угла

$\cos\theta_e=\frac{\gamma_{\mathrm{SG}}-\gamma_{\mathrm{SL}}}{\gamma_{\mathrm{LG}}}$

Краевой угол капли на гладкой однородной поверхности определяется балансом трёх межфазных натяжений. Угол отсчитывают внутри жидкости от твёрдой поверхности до касательной к мениску.

Химия

Поверхностное натяжение по максимуму давления пузырька

$\gamma\simeq\frac{r}{2}\bigl(p_{\max}-\rho gh\bigr)$

В пузырьковом методе из пикового избыточного давления вычитают гидростатический напор. Оставшийся капиллярный перепад при известном радиусе отверстия даёт поверхностное натяжение.