Химия / Химическая термодинамика

Уравнение Юнга для равновесного краевого угла

Краевой угол капли на гладкой однородной поверхности определяется балансом трёх межфазных натяжений. Угол отсчитывают внутри жидкости от твёрдой поверхности до касательной к мениску.

Опубликовано: 10 ноября 2026 г.Обновлено: 10 ноября 2026 г.

Формула

\cos\theta_e=\frac{\gamma_{\mathrm{SG}}-\gamma_{\mathrm{SL}}}{\gamma_{\mathrm{LG}}}

Схема Как межфазный баланс меняет угол

На нуле разности энергий угол равен 90°. При положительной разности он меньше прямого.

Обозначения

$θ_e$: равновесный краевой угол внутри жидкости, ° или рад
$γ_SG$: межфазная энергия твёрдого тела и газа, Дж/м²
$γ_SL$: межфазная энергия твёрдого тела и жидкости, Дж/м²
$γ_LG$: натяжение границы жидкости и газа, Н/м

Условия применения

Трёхфазная линия находится в равновесии на жёсткой гладкой химически однородной поверхности. Жидкость частично смачивает поверхность, а вклад энергии самой контактной линии в баланс пренебрежимо мал.

Ограничения

Шероховатость, неоднородность и закрепление линии контакта приводят к различию углов натекания и оттекания. При отношении выше единицы равновесный угол частичного смачивания не существует, и модель надо трактовать через растекание, а не вычислять арккосинус.

Подробное объяснение

Если линия контакта сдвинется вдоль гладкой пластины, часть границы твёрдого тела с газом заменится границей с жидкостью. Разность энергий этих двух поверхностей определяет выигрыш на единицу новой смоченной площади.

Поверхность жидкости при смещении тоже меняется. Проекция её натяжения на плоскость твёрдого тела равна γ_LG cosθ_e. При равновесии малое смещение не меняет полную поверхностную энергию в первом порядке, поэтому эта проекция уравновешивает разность γ_SG−γ_SL.

Положительная разность соответствует углу меньше 90°, отрицательная — больше 90°. При равных энергиях угол равен 90°. Для фиксированного γ_LG угол меняется нелинейно: близко к 0° и 180° небольшой сдвиг косинуса может заметно изменить угол.

Уравнение даёт локальное условие у линии контакта. Оно не определяет радиус капли или её полный профиль. Чтобы найти форму большой капли, добавляют баланс давления на поверхности, объём и действие тяжести. Из одного краевого угла получают только разность двух энергий твёрдых границ.

Как пользоваться формулой

Уточните, что угол нужен внутри жидкости, а значения энергий относятся к тем же фазам и состоянию поверхности.
Вычтите γ_SL из γ_SG, сохраняя знак. Выразите обе энергии в одинаковых единицах на квадратный метр.
Разделите полученную разность на натяжение границы жидкости с газом, учитывая равенство Дж/м² и Н/м.
Проверьте допустимость косинуса и примените арккосинус. Если нужны градусы, переключите режим вычисления.

Историческая справка

В эссе о когезии жидкостей 1805 года Томас Юнг описал характерный угол для контакта жидкости, твёрдого тела и воздуха. Эта постановка отличала форму границы жидкости вдали от стенки от локального условия непосредственно у линии встречи трёх фаз.

В современном курсе MIT условие Юнга получают как из горизонтального баланса натяжений, так и из стационарности поверхностной энергии. Второй вывод показывает, почему в уравнение входит разность энергий сухой и смоченной поверхности. Обе величины по отдельности из угла не определяются. Наблюдаемое закрепление линии контакта в этом курсе рассматривается отдельно от идеального равновесия на однородном теле.

Историческая линия формулы

Условие носит имя Томаса Юнга за описание краевого угла и баланса у линии контакта в эссе 1805 года. Алгебраическая запись здесь выражает энергетический баланс трёх границ для гладкой жёсткой поверхности при частичном смачивании.

Пример

Для учебной системы γ_SG=60 мДж/м², γ_SL=36 мДж/м² и γ_LG=48 мН/м. Поверхность жёсткая, жидкость находится в равновесии. Найдём краевой угол. Разность первых двух энергий равна 24 мДж/м². Поскольку 1 Дж/м²=1 Н/м, отношение равно 24/48=0,50. Арккосинус 0,50 равен 60°. Это угол между поверхностью и касательной со стороны жидкости. После обратной подстановки 48·cos60°=24 мН/м. Косинус положителен и меньше единицы, поэтому результат лежит между 0° и 90°. Если измерить угол со стороны газа, для той же геометрии получится 120°.

Частая ошибка

Порядок вычитания меняет знак и даёт дополнительный угол. Не подставляйте угол, снятый со стороны газа, без пересчёта. Угол натекания при растущей капле нельзя автоматически считать равновесным. При измерении в градусах проверьте режим арккосинуса на калькуляторе.

Практика

Задачи с решением

Угол больше прямого

Условие. Разность γ_SG−γ_SL равна −25 мН/м, γ_LG=50 мН/м. Каков угол?

Решение. Косинус равен −0,5. В диапазоне от 0° до 180° ему соответствует 120°.

Ответ. 120°.

Разность энергий из опыта

Условие. При θ_e=45° и γ_LG=40 мН/м найдите γ_SG−γ_SL.

Решение. Умножаем 40 мН/м на √2/2. Перевод в мДж/м² численного значения не меняет.

Ответ. Около 28,28 мДж/м².

Дополнительные источники

https://doi.org/10.1098/rstl.1805.0005
https://ocw.mit.edu/courses/18-357-interfacial-phenomena-fall-2010/04759cfc15c79928ca9f72a18b3864dd_MIT18_357F10_lec_all.pdf
https://web.mit.edu/nnf/education/wettability/wetting.html

Связанные формулы

Химия

Уравнение Юнга — Лапласа для давления на границе фаз

$\Delta p=\gamma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)$

Перепад давления на неподвижной границе двух жидких сред пропорционален сумме её главных кривизн. Для сферической капли радиуса R внутреннее давление выше внешнего на 2γ/R.

Химия

Поверхностное натяжение по силе на пластине Вильгельми

$\gamma=\frac{F_{\mathrm{wet}}+\rho g A h}{P\cos\theta}$

Пластина Вильгельми измеряет натяжение по вертикальной силе на линии смачивания. Из показания после тарирования выделяют капиллярную силу, учитывая выталкивание погружённой части.

Химия

Поверхностное натяжение по максимуму давления пузырька

$\gamma\simeq\frac{r}{2}\bigl(p_{\max}-\rho gh\bigr)$

В пузырьковом методе из пикового избыточного давления вычитают гидростатический напор. Оставшийся капиллярный перепад при известном радиусе отверстия даёт поверхностное натяжение.

Физика

Капиллярный подъём жидкости

$h=\frac{2\sigma\cos\theta}{\rho g r}$

Высота капиллярного подъёма h определяется поверхностным натяжением, краевым углом, плотностью жидкости и радиусом трубки.