Уравнение Юнга — Лапласа для давления на границе фаз

Как пользоваться формулой

1. Выберите одну границу и запишите, давление какой фазы вы вычитаете из давления другой фазы.
2. Определите два главных радиуса в метрах и проверьте их знаки по выбранной ориентации поверхности.
3. Для направления с нулевой кривизной сразу положите соответствующее обратное значение радиуса равным нулю.
4. Сложите две кривизны и умножьте на натяжение в ньютонах на метр. Проверьте направление перепада по знаку.

Историческая справка

В эссе 1805 года Томас Юнг связал форму жидких поверхностей с натяжением и разностью давлений. Его рассуждение относилось к капиллярным явлениям и сочетало картину поверхности с условием контакта с твёрдым телом. Название уравнения связывает этот подход с количественной теорией капиллярности Лапласа.

В современном курсе Джона Буша баланс выводят для локального участка межфазной поверхности. Радиусы определяют в главных направлениях, где нормальные кривизны принимают крайние значения. Такое изложение объясняет, почему сферу, цилиндр и плоскую поверхность можно рассчитать одной записью и почему давление для несферического мениска нельзя вычислить по произвольной дуге.

Пример

У сферической капли радиус 1,00 мм, натяжение на границе с газом 0,050 Н/м. Найдём, насколько давление внутри выше давления газа. Перепад считаем в одной точке границы. Оба радиуса равны 0,00100 м. Сумма кривизн равна 2/0,00100=2000 м⁻¹. Тогда Δp=0,050·2000=100 Па. Для цилиндрического участка с тем же поперечным радиусом и нулевой осевой кривизной сумма была бы 1000 м⁻¹, а перепад 50 Па. При проверке размерности произведение Н/м на м⁻¹ равно Н/м². Положительный знак соответствует более высокому давлению внутри выпуклой капли.

Частая ошибка

Используйте радиус, а не диаметр. Суммируйте кривизны с их знаками, особенно на седловой поверхности. Не удваивайте результат для одного пузырька газа в жидкости: две границы есть у плёнки мыльного пузыря. Для крупной капли сначала проверьте, приемлема ли сфера.