Физика / Молекулярная физика

Закон Ньютона охлаждения тела

Закон Ньютона охлаждения описывает экспоненциальное уменьшение разности температур тела и среды. Он предполагает постоянные условия теплообмена и почти равномерную температуру внутри тела.

Опубликовано: 6 октября 2026 г.Обновлено: 6 октября 2026 г.

Формула

T=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}

График T, °C и t, мин

T₀ = 90 °C, среда 20 °C, k = 0,020 мин⁻¹. Модель с постоянными условиями.

Обозначения

$T$: температура тела в момент t, °C или К в разности
$Ta$: постоянная температура среды, °C или К
$T0$: начальная температура тела, °C или К
$k$: коэффициент охлаждения, с⁻¹
$t$: время, с

Условия применения

Температурная разность невелика, коэффициент теплоотдачи и температура среды постоянны, тело хорошо перемешано и имеет почти одну температуру. Изменение температуры описывается dT/dt = −k(T−Ta).

Ограничения

При больших перепадах температуры излучение и свойства конвекции нелинейны. Толстое тело с температурными градиентами не является сосредоточенной системой; Ta и k могут меняться со временем.

Подробное объяснение

Закон Ньютона охлаждения получается из предположения, что скорость изменения температуры пропорциональна разности T−Ta. Решение дифференциального уравнения экспоненциально: тело быстро меняет температуру в начале и медленно приближается к среде.

Знак разности задаёт направление автоматически. Если T0>Ta, экспонента умножает положительную разность и T уменьшается; если T0<Ta, тело нагревается. При t→∞ T стремится к Ta, но в идеальной модели не пересекает её.

Температуры можно измерять в °C, если Ta и T0 заданы в одной шкале: в разности градусов Цельсия и кельвинов одинаковый шаг. Для термодинамических расчётов абсолютная шкала предпочтительна. k имеет единицу с⁻¹.

Модель применяют к чашке жидкости, небольшому предмету и датчику с хорошим внутренним выравниванием температуры. Для сложного тела сначала проверяют малость внутренних градиентов и постоянство условий окружающей среды.

По двум измерениям можно найти k через ln[(T−Ta)/(T0−Ta)] = −kt. Это позволяет отличить экспоненциальное охлаждение от линейного приближения на коротком интервале.

Как пользоваться формулой

Опишите процесс и укажите постоянные величины.
Переведите все данные в СИ и температуру в К.
Выразите неизвестную величину символически.
Подставьте реальные числа и сохраните промежуточный результат.
Проверьте знак, размерность и физический предел.

Историческая справка

Закон Ньютона охлаждения возник из ранних исследований теплообмена и наблюдения, что остывание тела ускоряется при большой разности температур. В простейшем виде модель связывают с ньютоновской линейной аппроксимацией конвективного теплообмена. Развитие теплопередачи показало, что излучение подчиняется другой, нелинейной зависимости, а свойства поверхности и движения воздуха меняют коэффициент. Поэтому экспоненциальный закон стал моделью сосредоточенной теплоёмкости, а не универсальным законом для любого тела. В XX веке его широко применяли в термометрии, оценке времени остывания и обработке экспериментальных кривых. Современный расчёт всегда проверяет постоянство температуры среды и диапазон, где коэффициент k можно считать постоянным.

Историческая линия формулы

Закон называют законом Ньютона охлаждения, но современная экспонента — решение линейной модели теплоотдачи. Она требует постоянной температуры среды и коэффициента k; при сильном излучении и больших перепадах температур нужны более полные уравнения.

Пример

Горячий чай имеет T0 = 90 °C, температура комнаты Ta = 20 °C, коэффициент k = 0,020 мин⁻¹. Через t = 30 мин T = 20+(90−20)e^(−0,6) = 20+70 · 0,5488 = 58,42 °C. Через 60 мин T = 20+70e^(−1,2) = 41,08 °C. Разность с комнатой уменьшается от 70 до 38,42 °C, то есть процесс замедляется. Проверка предела: при больших t экспонента стремится к нулю и T стремится к 20 °C. Коэффициент задан в обратных минутах, поэтому время оставлено в минутах. Для чая испарение и охлаждение стенок чашки могут нарушить эту модель; приведённый результат является расчётом по условию о постоянном k, а не прогнозом для любой чашки в комнате.

Частая ошибка

В экспоненте kt единицы времени должны сокращаться: минуты нельзя смешивать с с⁻¹. Убывает разность с температурой среды, а не сама температура относительно нуля шкалы. Коэффициент k меняется при смене обдува или среды. Для кипения, испарения и больших внутренних градиентов одна экспонента без проверки неприменима.

Практика

Задачи с решением

Остывание металла

Условие. T0 = 100 °C, Ta = 25 °C, k = 0,10 мин⁻¹, t = 10 мин.

Решение. T = 25+75e⁻¹ = 52,59 °C.

Ответ. T≈52,6 °C

Нагрев тела

Условие. T0 = 10 °C, Ta = 30 °C, k = 0,05 мин⁻¹, t = 20 мин.

Решение. T = 30−20e⁻¹ = 22,64 °C.

Ответ. T≈22,6 °C

Дополнительные источники

https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/2-8-exponential-growth-and-decay
https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/4-3-separable-equations

Связанные формулы

Физика

Первый закон термодинамики

$Q=\Delta U + A$

Первый закон термодинамики выражает сохранение энергии: полученное системой тепло идет на изменение внутренней энергии и работу, совершенную системой.

Физика

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа

$U=\frac{3}{2}\nu RT$

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа U = 3νRT/2 определяется количеством вещества и абсолютной температурой. Объём сам по себе её не меняет в этой модели.

Физика

Изменение энтропии идеального газа

$\Delta S=\nu C_V\ln\frac{T_2}{T_1}+\nu R\ln\frac{V_2}{V_1}$

Изменение энтропии идеального газа между двумя равновесными состояниями вычисляется по отношениям температур и объёмов. Формула сравнивает два равновесных состояния одной порции газа.