Физика / Молекулярная физика

Изменение энтропии идеального газа

Изменение энтропии идеального газа между двумя равновесными состояниями вычисляется по отношениям температур и объёмов. Формула сравнивает два равновесных состояния одной порции газа.

Опубликовано: 6 октября 2026 г.Обновлено: 6 октября 2026 г.

Формула

\Delta S=\nu C_V\ln\frac{T_2}{T_1}+\nu R\ln\frac{V_2}{V_1}

График ΔS, Дж/К и V₂/V₁

Изотермический частный случай для одного моля: меняется только объёмный вклад энтропии.

Обозначения

$ΔS$: изменение энтропии газа, Дж/К
$ν$: количество вещества, моль
$Cᵥ$: молярная теплоёмкость при постоянном объёме, Дж/(моль·К)
$T₁,T₂$: начальная и конечная температуры, К
$V₁,V₂$: начальный и конечный объёмы, м³
$R$: газовая постоянная, Дж/(моль·К)

Условия применения

Состояния равновесны, газ идеален, теплоёмкость Cᵥ постоянна на рассматриваемом диапазоне, ν неизменно. Температуры абсолютные, а оба объёма выражены в одинаковых единицах.

Ограничения

Формула не даёт энтропию неравновесного промежуточного состояния. При переменной теплоёмкости нужен интеграл; для реального газа используют уравнение состояния и соответствующие термодинамические данные.

Подробное объяснение

Энтропия — функция состояния, поэтому её изменение зависит только от начального и конечного состояний, хотя реальный путь может быть необратимым. Формула складывается из температурного вклада νCᵥ ln(T₂/T₁) и объёмного вклада νR ln(V₂/V₁).

При изохоре второй логарифм равен нулю; при изотерме первый исчезает. Если температура или объём увеличиваются, соответствующий вклад положителен. Изменение энтропии может быть найдено по удобному обратимому пути, даже если фактический переход был быстрым и необратимым.

Аргументы логарифмов — отношения одинаковых величин, поэтому они безразмерны. νCᵥ и νR имеют Дж/К, значит ΔS измеряется в Дж/К. Нельзя подставлять температуры в °C или разные единицы объёма.

Для любого полного цикла ΔS рабочего тела равна нулю; для необратимого процесса энтропия изолированной совокупности не убывает. Это помогает отличать функцию состояния от теплоты и работы, которые зависят от пути.

В задачах сначала выбирают Cᵥ модели газа, затем вычисляют два вклада отдельно. Отдельные знаки дают полезную проверку: охлаждение уменьшает температурную часть, а расширение увеличивает объёмную.

Как пользоваться формулой

Опишите процесс и укажите постоянные величины.
Переведите все данные в СИ и температуру в К.
Выразите неизвестную величину символически.
Подставьте реальные числа и сохраните промежуточный результат.
Проверьте знак, размерность и физический предел.

Историческая справка

История энтропии начинается с анализа эффективности тепловых машин. В 1824 году Карно показал роль обратимого цикла, а в XIX веке Клаузиус ввёл величину, изменение которой связано с обратимым отношением δQ_rev/T. Это позволило отличить путь процесса от функции состояния. Развитие статистической физики Больцмана связало энтропию с числом микросостояний и объяснило направление необратимых процессов. Для идеального газа интегрирование dS = νCᵥ dT/T+νR dV/V даёт современную формулу с двумя логарифмами. Сегодня энтропия используется и в термодинамике, и в статистической физике; при этом школьный расчёт требует явно указать модель газа и диапазон постоянной теплоёмкости.

Историческая линия формулы

Исторически понятие связано с Карно и Клаузиусом, а статистическое толкование развил Больцман. Конкретная формула для идеального газа следует из дифференциального определения обратимой энтропии и уравнения состояния, поэтому не является единоличным открытием.

Пример

Газ: ν = 1,00 моль, Cᵥ = 20,786 Дж/(моль · К), T₁ = 300 К, T₂ = 600 К, V₁ = 2,00 л, V₂ = 4,00 л. Тогда ΔS = 1 · 20,786 ln2+1 · 8,314 ln2 = (20,786+8,314) · 0,693147 = 20,17 Дж/К. Оба вклада положительны: нагрев и расширение увеличивают энтропию. Если объём оставить 2,00 л, останется только 14,41 Дж/К; если температуру оставить 300 К, объёмный вклад составит 5,76 Дж/К. Проверка показывает, что сумма частных случаев совпадает с полным результатом. Теплоёмкость Cᵥ дана условием и считается постоянной. Для обратного перехода между теми же состояниями каждый логарифм изменит знак, поэтому ΔS станет отрицательной. Это свойство функции состояния; суммарная энтропия газа и окружения требует отдельного баланса.

Частая ошибка

В логарифмах нужны отношения температур в кельвинах и объёмов одной порции газа. Теплоёмкость Cᵥ не заменяют на Cp в этой форме. Отрицательное изменение энтропии газа при охлаждении не нарушает второй закон: необходимо учесть окружающую среду. Подстановка реальной необратимой теплоты в Q/T без анализа пути ошибочна.

Практика

Задачи с решением

Изохорное охлаждение

Условие. ν = 2,00 моль, Cᵥ = 12,4717 Дж/(моль · К), T₁ = 400 К, T₂ = 200 К.

Решение. ΔS = 2 · 12,4717 · ln(0,5) = −17,29 Дж/К.

Ответ. ΔS≈−17,3 Дж/К

Изотермическое расширение

Условие. ν = 0,500 моль, V₁ = 3,00 л, V₂ = 9,00 л, T постоянна.

Решение. ΔS = 0,5 · 8,314 · ln3 = 4,57 Дж/К.

Ответ. ΔS≈4,57 Дж/К

Дополнительные источники

https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/4-6-entropy
https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/4-7-entropy-on-a-microscopic-scale

Связанные формулы

Физика

КПД цикла Карно

$\eta_C=1-\frac{T_2}{T_1}$

Максимальный КПД обратимого двигателя между двумя постоянными температурами равен 1 − Tc/Th. Температуры берут в кельвинах; реальные потери уменьшают достижимый результат.

Физика

Теплоёмкости идеального газа: Cᵥ, Cₚ и γ

$C_V=\frac{f}{2}R,\quad C_P=C_V+R,\quad \gamma=\frac{C_P}{C_V}$

Молярные теплоёмкости идеального газа связаны с числом f активных квадратичных степеней свободы: Cᵥ = fR/2, Cₚ = Cᵥ+R, γ = Cₚ/Cᵥ.

Физика

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа

$U=\frac{3}{2}\nu RT$

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа U = 3νRT/2 определяется количеством вещества и абсолютной температурой. Объём сам по себе её не меняет в этой модели.