Физика / Молекулярная физика

Теплоёмкости идеального газа: Cᵥ, Cₚ и γ

Молярные теплоёмкости идеального газа связаны с числом f активных квадратичных степеней свободы: Cᵥ = fR/2, Cₚ = Cᵥ+R, γ = Cₚ/Cᵥ.

Опубликовано: 6 октября 2026 г.Обновлено: 6 октября 2026 г.

Формула

C_V=\frac{f}{2}R,\quad C_P=C_V+R,\quad \gamma=\frac{C_P}{C_V}

График Cᵥ, Дж/(моль·К) и f

Классический вклад Cᵥ = fR/2. Физические значения f выбирают по активным квадратичным вкладам; линия показывает пропорциональность.

Обозначения

$Cᵥ$: молярная теплоёмкость при постоянном объёме, Дж/(моль·К)
$Cₚ$: молярная теплоёмкость при постоянном давлении, Дж/(моль·К)
$f$: число активных квадратичных степеней свободы, 1
$R$: газовая постоянная, Дж/(моль·К)
$γ$: показатель адиабаты, 1

Условия применения

Газ идеален, теплоёмкости рассматриваются в температурном диапазоне, где число активных степеней свободы f можно считать постоянным. Cᵥ и Cₚ относятся к одному молю, а температуры выражают в К.

Ограничения

При возбуждении колебаний f меняется с температурой. Для реального газа межмолекулярные взаимодействия добавляют поправки; нельзя применять одноатомное f = 3 к двухатомному газу без проверки.

Подробное объяснение

Теплоёмкость показывает, сколько теплоты нужно одному молю для повышения температуры на один кельвин при выбранном условии. При постоянном объёме газ не совершает работы, поэтому Cᵥ связано с изменением внутренней энергии. При постоянном давлении часть теплоты уходит на расширение, и Cₚ больше Cᵥ на R.

Классическая теорема равнораспределения даёт вклад R/2 на каждую квадратичную степень свободы. Поэтому одноатомный газ с f = 3 имеет Cᵥ = 3R/2, а двухатомный в диапазоне активных вращений обычно f = 5 и Cᵥ = 5R/2. Колебательные степени свободы добавляются только при соответствующем возбуждении.

Показатель γ = Cₚ/Cᵥ определяет адиабатические связи и скорость распространения малых возмущений. При фиксированном составе γ>1, поскольку Cₚ = Cᵥ+R. Числа нельзя смешивать: молярные теплоёмкости имеют Дж/(моль · К), удельные — Дж/(кг · К).

В изохорном процессе Q = νCᵥΔT, в изобарном Q = νCₚΔT. Разность теплоты равна работе расширения pΔV при одинаковом повышении температуры. Так формула связывает микроскопические степени свободы с наблюдаемым энергетическим балансом.

Перед расчётом укажите f, тип теплоёмкости и количество вещества ν. Это предотвращает типичную ошибку: взять Cₚ для сосуда с неподвижными стенками или посчитать γ для одного газа, а применить к другому.

Как пользоваться формулой

Опишите процесс и укажите постоянные величины.
Переведите все данные в СИ и температуру в К.
Выразите неизвестную величину символически.
Подставьте реальные числа и сохраните промежуточный результат.
Проверьте знак, размерность и физический предел.

Историческая справка

История теплоёмкостей связана с калориметрией и развитием кинетической теории. В XIX веке различие Cₚ и Cᵥ показало, что при постоянном давлении теплота расходуется не только на внутреннюю энергию, но и на работу расширения. Клаузиус и Максвелл развивали молекулярное объяснение тепловых свойств, а Больцман связал их со статистикой степеней свободы. Классическое равнораспределение успешно объяснило поступательные и вращательные вклады, но обнаружило проблему с колебательными режимами при низких температурах. Квантовая физика объяснила температурную «заморозку» степеней свободы. Современная формула поэтому всегда сопровождается оговоркой о диапазоне температур и модели газа.

Историческая линия формулы

Это коллективный результат термодинамики и статистической физики, а не формула одного автора. Разность Cₚ−Cᵥ = R следует из первого закона и уравнения идеального газа, а Cᵥ = fR/2 — из классического равнораспределения при активных степенях свободы.

Пример

Для 2,00 моль одноатомного газа при нагреве на 50 К: Cᵥ = 3R/2 = 12,4717 Дж/(моль · К), Cₚ = 5R/2 = 20,7862 Дж/(моль · К), γ = 5/3 = 1,667. При постоянном объёме Qᵥ = νCᵥΔT = 2 · 12,4717 · 50 = 1247,17 Дж. При постоянном давлении Qₚ = 2 · 20,7862 · 50 = 2078,62 Дж, разность 831,45 Дж равна работе газа. Все результаты относятся к двум молям, а не к одному. Вычисления выполнены с R ≈ 8,31446 Дж/(моль · К). Разница между двумя теплотами равна νRΔT и объясняется работой расширения на изобаре. Если сравнивать разные конечные температуры или разные количества вещества, такое прямое вычитание уже не проверяет соотношение теплоёмкостей.

Частая ошибка

Молярные теплоёмкости в Дж/(моль·К) нельзя смешивать с удельными в Дж/(кг·К). Cᵥ и Cp относятся к разным ограничениям процесса. Число f учитывает только активные квадратичные вклады, поэтому для холодного газа нельзя автоматически добавлять все колебания. При переменной теплоёмкости вместо произведения на ΔT нужен интеграл.

Практика

Задачи с решением

Двухатомный газ

Условие. Для f = 5 найдите Cᵥ, Cₚ и γ.

Решение. Cᵥ = 5R/2 = 20,786 Дж/(моль · К); Cₚ = 7R/2 = 29,101 Дж/(моль · К); γ = 1,400.

Ответ. Cᵥ≈20,79; Cₚ≈29,10 Дж/(моль · К), γ = 1,40

Теплота при изохоре

Условие. ν = 0,250 моль одноатомного газа нагрели на 80 К.

Решение. Q = νCᵥΔT = 0,250 · 12,4717 · 80 = 249,43 Дж.

Ответ. Q≈249 Дж

Дополнительные источники

https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/3-5-heat-capacities-of-an-ideal-gas
https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/2-3-heat-capacity-and-equipartition-of-energy

Связанные формулы

Физика

Адиабата идеального газа: pV^γ, TV^(γ−1) и работа

$pV^\gamma=const,\quad TV^{\gamma-1}=const,\quad A=\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}$

Адиабатический процесс проходит без теплообмена: давление, объём и температура связаны степенными законами, а работа берётся из изменения внутренней энергии.

Физика

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа

$U=\frac{3}{2}\nu RT$

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа U = 3νRT/2 определяется количеством вещества и абсолютной температурой. Объём сам по себе её не меняет в этой модели.

Физика

Первый закон термодинамики

$Q=\Delta U + A$

Первый закон термодинамики выражает сохранение энергии: полученное системой тепло идет на изменение внутренней энергии и работу, совершенную системой.