Все формулы РФ

Физика / Молекулярная физика

Адиабата идеального газа: pV^γ, TV^(γ−1) и работа

Адиабатический процесс проходит без теплообмена: давление, объём и температура связаны степенными законами, а работа берётся из изменения внутренней энергии.

Опубликовано: Обновлено:

Молекулярная физикаСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаФормулы высшей физики

Формула

$$pV^\gamma=const,\quad TV^{\gamma-1}=const,\quad A=\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}$$
График T₂, К и V₂/V₁
T₂, К в зависимости от V₂/V₁T₂, К01811,751622,52433,253244V₂/V₁

T₁ = 300 К, γ = 1,4. Обратимое адиабатическое расширение охлаждает идеальный газ.

Обозначения

$p,V,T$
давление, объём и абсолютная температура газа, Па, м³, К
$γ$
отношение Cₚ/Cᵥ, 1
$A$
работа газа, Дж

Условия применения

Процесс обратимый и квазистатический, Q = 0, газ идеален, γ постоянно. Начальное и конечное состояния находятся на одной адиабате.

Ограничения

Быстрые необратимые процессы и реальные газы могут не подчиняться этим равенствам. Нельзя использовать °C, а γ нельзя считать постоянной при заметном изменении активных степеней свободы.

Подробное объяснение

Адиабата отличается от изотермы отсутствием теплообмена. При расширении газ совершает работу за счёт внутренней энергии, поэтому температура падает. Закон первого начала при Q = 0 даёт ΔU = −A.

При обратимом пути первый закон даёт νCᵥ dT = −p dV. Подставив p = νRT/V и проинтегрировав dT/T = −(R/Cᵥ)dV/V, получаем TV^(γ−1) = const, поскольку R/Cᵥ = γ − 1. Совместно с pV = νRT получаем TV^(γ−1) = const и T^γp^(1−γ) = const. Эти три формы выбирают по известным данным.

При расширении V₂>V₁ давление и температура уменьшаются; при сжатии растут. Степень γ показывает, насколько быстро падает давление: чем больше γ, тем сильнее температурный эффект при том же отношении объёмов.

Работа от V₁ до V₂ равна интегралу ∫p dV и после подстановки адиабаты становится A = (p₁V₁−p₂V₂)/(γ−1). Формула согласуется с ΔU: внутренняя энергия идеального газа уменьшается на работу.

Адиабатические участки входят в цикл Карно и приближённо описывают быстрое расширение в теплоизолированном поршне. Перед применением проверьте, что теплообмен действительно пренебрежимо мал и путь не смешан с изотермой.

Как пользоваться формулой

  1. Опишите процесс и укажите постоянные величины.
  2. Переведите все данные в СИ и температуру в К.
  3. Выразите неизвестную величину символически.
  4. Подставьте реальные числа и сохраните промежуточный результат.
  5. Проверьте знак, размерность и физический предел.

Историческая справка

История адиабаты связана с вопросом, как газ меняет температуру без подвода теплоты. В XIX веке эксперименты с расширением газов и развитие первого закона позволили рассматривать теплоизолированный процесс как превращение внутренней энергии в работу. Клапейрон и последующие исследователи использовали газовые диаграммы, а развитие энтропии уточнило условие обратимости: для обратимой адиабаты энтропия постоянна. Степенная форма pV^γ появилась после соединения уравнения состояния с отношением теплоёмкостей. Позднее адиабатические связи стали основой анализа циклов тепловых машин и атмосферных движений, хотя реальный турбулентный поток требует дополнительных моделей.

Историческая линия формулы

Адиабата — результат объединения первого закона, уравнения идеального газа и теплоёмкостей; её нельзя приписывать одному автору. Для обратимого случая условие Q = 0 эквивалентно постоянству энтропии, а показатель γ задаётся свойствами газа.

Пример

Газ расширяется адиабатически: p₁ = 200 кПа, V₁ = 1,00 л, γ = 1,40, V₂ = 2,00 л. Из p₁V₁^γ = p₂V₂^γ получаем p₂ = 200 · (1/2)^1,4 = 75,79 кПа. Температура T₂ = T₁(V₁/V₂)^(γ−1); при T₁ = 300 К T₂ = 300 · 2^−0,4 = 227,36 К. Работа A = (p₁V₁−p₂V₂)/(γ−1) = (200000 · 0,001−75790 · 0,002)/0,4 = 121,05 Дж. Давление и температура уменьшились, а работа положительна — проверка знака пройдена. Теплота равна нулю, поэтому уменьшение внутренней энергии составляет примерно 121 Дж и полностью превращается в работу газа. Изотермическое расширение с тем же начальным состоянием дало бы иную работу: там температуру поддерживает подвод теплоты.

Частая ошибка

Отсутствие теплообмена не гарантирует равенства pVᵞ = const: требуется обратимость и постоянство теплоёмкостей. Быстрое свободное расширение в вакуум не описывается этой степенной адиабатой. В показателе температуры стоит γ − 1, а не γ. При сжатии работа газа отрицательна и температура возрастает.

Практика

Задачи с решением

Адиабатическое сжатие

Условие. V₂ = V₁/4, T₁ = 300 К, γ = 5/3. Найдите T₂.

Решение. T₂ = T₁(V₁/V₂)^(γ−1) = 300 · 4^(2/3) = 755,95 К.

Ответ. T₂≈756 К

Давление при расширении

Условие. p₁ = 100 кПа, V₂ = 3V₁, γ = 1,4.

Решение. p₂ = p₁/3^1,4 = 21,50 кПа.

Ответ. p₂≈21,5 кПа

Дополнительные источники

  • https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/3-6-adiabatic-processes-for-an-ideal-gas
  • https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/3-4-thermodynamic-processes

Связанные формулы

Физика

Теплоёмкости идеального газа: Cᵥ, Cₚ и γ

$C_V=\frac{f}{2}R,\quad C_P=C_V+R,\quad \gamma=\frac{C_P}{C_V}$

Молярные теплоёмкости идеального газа связаны с числом f активных квадратичных степеней свободы: Cᵥ = fR/2, Cₚ = Cᵥ+R, γ = Cₚ/Cᵥ.

Физика

КПД цикла Карно

$\eta_C=1-\frac{T_2}{T_1}$

Максимальный КПД обратимого двигателя между двумя постоянными температурами равен 1 − Tc/Th. Температуры берут в кельвинах; реальные потери уменьшают достижимый результат.

Физика

Работа газа в изотермическом процессе

$A=\nu RT\ln\frac{V_2}{V_1}$

При обратимом изотермическом расширении идеального газа работа равна νRT ln(V₂/V₁). Температура не меняется, а подведённая теплота полностью компенсирует работу газа.