Физика / Молекулярная физика
Работа газа в изотермическом процессе
При обратимом изотермическом расширении идеального газа работа равна νRT ln(V₂/V₁). Температура не меняется, а подведённая теплота полностью компенсирует работу газа.
Формула
ν = 1 моль, T = 300 К. Обратимое расширение: работа растёт логарифмически с отношением объёмов.
Обозначения
- $A$
- работа газа при расширении, Дж
- $ν$
- количество вещества газа, моль
- $R$
- универсальная газовая постоянная, Дж/(моль·К)
- $T$
- абсолютная температура, К
- $V₁,V₂$
- начальный и конечный объёмы, м³
Условия применения
Газ идеален, температура постоянна, а переход между состояниями квазистатический. Количество вещества ν не меняется, давление в каждый момент задаётся уравнением p = νRT/V, а работа считается положительной при расширении газа.
Ограничения
Формула с логарифмом не описывает быстрый необратимый процесс с неравновесным давлением. Она также требует T>0 К и V₁,V₂>0. Для плотного реального газа уравнение идеального газа и результат A = νRT ln(V₂/V₁) могут заметно ошибаться.
Подробное объяснение
В изотермическом процессе температура идеального газа постоянна, поэтому внутренняя энергия одноатомного газа не изменяется: ΔU = 0. Полученная теплота целиком превращается в работу расширения, а при сжатии работа внешних сил уходит в тепло, отведённое от газа. Это особый случай первого закона, а не утверждение, что давление остаётся постоянным.
Давление меняется по гиперболе p = νRT/V. Малое расширение dV даёт работу dA = p dV, поэтому нужно интегрировать от V₁ до V₂: A = ∫νRT dV/V = νRT ln(V₂/V₁). Логарифм появляется именно из зависимости p от обратного объёма. При V₂>V₁ логарифм положителен; при сжатии V₂<V₁ он отрицателен.
Численный коэффициент νRT имеет размерность энергии. Отношение объёмов безразмерно, поэтому логарифм допустим, а ответ получается в Дж. Важно, что в логарифме можно использовать литры, если оба объёма заданы в одних и тех же единицах, но в νRT и других формулах единицы всё равно должны быть согласованы.
На p–V диаграмме работа равна площади под изотермой. Чем выше температура или количество вещества, тем выше кривая и тем больше работа при том же отношении объёмов. При одинаковых V₂/V₁ расширение более горячего газа даёт большую работу пропорционально T.
Формула полезна для поршня, медленно расширяющегося в термостате. Она не заменяет расчёт работы в изобарном процессе A = pΔV: там давление постоянно, а на изотерме оно падает. Сначала определите путь, затем выберите интеграл или частный закон.
Как пользоваться формулой
- Опишите процесс и назовите постоянные величины.
- Переведите данные в СИ и Кельвины.
- Выразите неизвестную величину символически.
- Подставьте числа и сохраните промежуточные единицы.
- Проверьте знак, предел и размерность результата.
Историческая справка
Изотермическая работа выросла из исследований газовых закономерностей XVII–XIX веков. Закон обратной зависимости давления и объёма при постоянной температуре связывают с опытами Роберта Бойля и Эдма Мариотта. В XIX веке Клапейрон объединил такие зависимости с температурой и количеством газа в уравнение состояния, что позволило вычислять работу как площадь под кривой p(V). Переход от геометрической площади к интегралу стал частью математической термодинамики: для постоянного давления получается pΔV, а для изотермы — логарифм. Развитие понятия внутренней энергии и первого закона объяснило, почему при идеальном изотермическом расширении теплота равна работе. Современная запись используется как модель обратимого процесса и сохраняет историческую связь между измеряемыми газовыми законами и энергетическим балансом.
Пример
В цилиндре ν = 1,00 моль идеального газа при T = 300 К медленно расширяют от V₁ = 5,00 л до V₂ = 10,0 л. Переводить объёмы в м³ для отношения не требуется: V₂/V₁ = 2,00. Работа A = νRT ln(V₂/V₁) = 1,00 · 8,314 · 300 · ln2 = 1728,7 Дж. Ответ: A≈1,73 кДж. Так как объём увеличился, знак работы положительный. При этом ΔU = 0, значит по первому закону Q = A≈1,73 кДж теплоты поступило в газ. Если процесс развернуть, знак работы и теплоты изменится на противоположный. Проверка: удвоение температуры при том же отношении объёмов удвоило бы работу. Если заменить медленное расширение свободным расширением в пустоту, при тех же начальном и конечном объёмах работа будет нулевой. Поэтому логарифмический результат требует обратимого квазистатического пути, а не только равенства начальной и конечной температур.
Частая ошибка
Частые ошибки: подстановка температуры в °C; смешение литров и м³; неверный знак работы газа; использование Cᵥ вместо Cₚ; трактовка статистического среднего как значения каждой молекулы. Исправление всегда начинается с рисунка процесса и таблицы единиц.
Практика
Задачи с решением
Расширение при 400 К
Условие. ν = 0,500 моль, T = 400 К, V₁ = 2,00 л, V₂ = 6,00 л. Найдите A.
Решение. A = 0,500 · 8,314 · 400 · ln(3) = 1826,6 Дж.
Ответ. A≈1,83 кДж
Изотермическое сжатие
Условие. ν = 2,00 моль, T = 280 К, V₁ = 8,00 л, V₂ = 4,00 л. Найдите работу газа.
Решение. A = 2,00 · 8,314 · 280 · ln(0,5) = −3227,7 Дж.
Ответ. A≈−3,23 кДж
Дополнительные источники
- https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/3-2-work-heat-and-internal-energy
- https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/3-4-thermodynamic-processes
Связанные формулы
Физика
Уравнение Менделеева - Клапейрона
Уравнение Менделеева–Клапейрона связывает давление, объём, температуру и количество вещества идеального газа: pV = νRT. Оно переводит между макроскопическими параметрами одного состояния.
Физика
Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа равна 3kT/2. Она зависит только от абсолютной температуры, а не от массы конкретного газа.
Физика
Средняя квадратичная скорость молекул
Средняя квадратичная скорость vᵣₘₛ = √(3RT/M) характеризует корень из среднего квадрата скоростей молекул идеального газа. Это статистическая скорость в м/с, а не скорость потока газа.