Физика / Молекулярная физика
КПД цикла Карно
Максимальный КПД обратимого двигателя между двумя постоянными температурами равен 1 − Tc/Th. Температуры берут в кельвинах; реальные потери уменьшают достижимый результат.
Формула
Th = 600 К. При повышении температуры холодильника предельный КПД уменьшается.
Обозначения
- $η_C$
- КПД обратимого цикла Карно, 1 или %
- $T₁$
- температура нагревателя, К
- $T₂$
- температура холодильника, К
- $Q₁$
- теплота от нагревателя за цикл, Дж
- $A$
- работа двигателя за цикл, Дж
Условия применения
Цикл обратимый и состоит из двух изотерм и двух адиабат. Нагреватель горячее холодильника: T₁>T₂>0. Температуры измеряются в кельвинах, а КПД определяется как отношение полезной работы к теплоте, полученной от нагревателя.
Ограничения
Формула даёт верхний предел для двигателя между двумя температурами. Реальные циклы необратимы, имеют потери и не достигают η_C. Нельзя подставлять температуры в °C или считать КПД равным разности температур в градусах.
Подробное объяснение
Цикл Карно — идеальный обратимый цикл между нагревателем при T₁ и холодильником при T₂. За изотермический участок при T₁ рабочее тело получает Q₁ и расширяется; затем адиабатически охлаждается, отдаёт Q₂ при изотерме T₂ и адиабатически возвращается в исходное состояние. Работа за цикл равна Q₁−Q₂.
Для обратимого цикла энтропия рабочего тела после полного оборота возвращается к исходному значению. Поэтому Q₁/T₁ = Q₂/T₂, откуда η = A/Q₁ = 1−Q₂/Q₁ = 1−T₂/T₁. В формуле остаются только температуры резервуаров: детали газа и рабочего объёма влияют на размеры цикла, но не на предельный КПД.
Температуры должны быть абсолютными. Для нагревателя 600 К и холодильника 300 К получаем η = 0,5, то есть половина теплоты превращается в работу, а половина отводится. При сближении температур КПД стремится к нулю; при T₂→0 К идеальная граница стремится к единице, но достижение абсолютного нуля невозможно.
Цикл Карно задаёт сравнение, а не практическую инструкцию для любой машины. Необратимое трение, конечные перепады температур и теплопроводность увеличивают производство энтропии и уменьшают реальный КПД. Второй закон запрещает превысить η_C для заданных T₁ и T₂.
На p–V диаграмме работа равна площади внутри замкнутого контура. Направление обхода определяет знак работы двигателя. Поэтому проверка КПД должна включать и энергетический баланс, и порядок температур, и тот факт, что 0≤η<1.
Как пользоваться формулой
- Опишите процесс и назовите постоянные величины.
- Переведите данные в СИ и Кельвины.
- Выразите неизвестную величину символически.
- Подставьте числа и сохраните промежуточные единицы.
- Проверьте знак, предел и размерность результата.
Историческая справка
Цикл Карно появился в 1824 году в работе Сади Карно о движущей силе огня и тепловых машинах. Карно рассматривал обратимый цикл как эталон, позволяющий сравнивать двигатели независимо от рабочего вещества. Позднее развитие первого и второго законов изменило тепловую теорию и выразило его результат через абсолютную температуру: Клаузиус ввёл энтропийную формулировку, а Кельвин развил абсолютную шкалу. В XIX веке стало ясно, что обратимый цикл задаёт максимум КПД между двумя резервуарами, а реальные потери связаны с необратимостью. Современная запись 1−T₂/T₁ является итогом этого развития: она соединяет историческую задачу о тепловых машинах с математическим условием нулевого изменения энтропии за обратимый цикл. Формула используется как верхняя граница, а не как обещание эффективности реального двигателя.
Историческая линия формулы
Идея идеального обратимого цикла принадлежит Сади Карно; современное выражение КПД через абсолютные температуры стало возможным после формулировок второго закона, абсолютной шкалы Кельвина и понятия энтропии. Поэтому корректно говорить о цикле Карно и последующем термодинамическом оформлении.
Пример
Идеальный двигатель Карно работает между нагревателем T₁ = 600 К и холодильником T₂ = 300 К. Пусть за цикл он получает Q₁ = 2000 Дж. КПД η_C = 1−T₂/T₁ = 1−300/600 = 0,500. Полезная работа A = ηQ₁ = 0,500 · 2000 = 1000 Дж. Отданная холодильнику теплота Q₂ = Q₁−A = 1000 Дж. Проверка энтропии: Q₁/T₁ = 2000/600 = 3,333 Дж/К и Q₂/T₂ = 1000/300 = 3,333 Дж/К. Значит, обратимый баланс выполнен. Использование 300 °C вместо 300 К дало бы другой и физически неверный КПД. Равенство переданных энтропий проверяет обратимость идеального цикла. У реального двигателя между этими же двумя резервуарами полезная работа не превысит 1000 Дж при том же подводе теплоты. При этом температуры резервуаров должны оставаться постоянными.
Частая ошибка
Частые ошибки: подстановка температуры в °C; смешение литров и м³; неверный знак работы газа; использование Cᵥ вместо Cₚ; трактовка статистического среднего как значения каждой молекулы. Исправление всегда начинается с рисунка процесса и таблицы единиц.
Практика
Задачи с решением
Температуры 800 и 320 К
Условие. Найдите КПД цикла Карно между T₁ = 800 К и T₂ = 320 К.
Решение. η = 1−320/800 = 0,600.
Ответ. η = 0,600 = 60%
Работа по полученной теплоте
Условие. Двигатель Карно работает между 500 К и 250 К и получает Q₁ = 1500 Дж. Найдите A.
Решение. η = 1−250/500 = 0,500; A = 0,500 · 1500 = 750 Дж.
Ответ. A = 750 Дж
Дополнительные источники
- https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/4-5-the-carnot-cycle
- https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/4-2-heat-engines
Связанные формулы
Физика
Уравнение Менделеева - Клапейрона
Уравнение Менделеева–Клапейрона связывает давление, объём, температуру и количество вещества идеального газа: pV = νRT. Оно переводит между макроскопическими параметрами одного состояния.
Физика
Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа равна 3kT/2. Она зависит только от абсолютной температуры, а не от массы конкретного газа.
Физика
Средняя квадратичная скорость молекул
Средняя квадратичная скорость vᵣₘₛ = √(3RT/M) характеризует корень из среднего квадрата скоростей молекул идеального газа. Это статистическая скорость в м/с, а не скорость потока газа.