Финансы / Проценты и дисконтирование

Будущая стоимость аннуитета с платежами в начале периода

Формула показывает будущую стоимость равных авансовых платежей, когда каждый взнос делается в начале периода и поэтому зарабатывает один дополнительный период дохода.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

FV_{due}=C\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}\cdot(1+r)

Обозначения

$FV_{due}$: будущая стоимость аннуитета due к концу срока, рубли или другая валюта
$C$: равный платеж в начале каждого периода, рубли или другая валюта за период
$r$: ставка доходности за один период, доля единицы за период
$n$: число платежей, периоды

Условия применения

Платежи вносятся в начале каждого периода.
Ставка r и период платежа совпадают по длительности.
Платежи полностью остаются в накоплении до конечной даты.
Если r = 0, будущая стоимость равна C*n.

Ограничения

Формула не описывает платежи в конце периода: для них используется обычная будущая стоимость аннуитета.
Если часть платежей вносится в другие даты, нужна временная шкала и отдельное накопление каждого потока.
Постоянная ставка является модельным допущением и не гарантирует доходность рискованных активов.
Комиссии, налоги и ограничения на пополнение уменьшают фактический результат и должны учитываться отдельно.

Подробное объяснение

Будущая стоимость аннуитета due строится из обычной будущей стоимости аннуитета. В обычном потоке платежи делаются в конце периодов, поэтому первый платеж растет n-1 период, а последний не растет. В потоке due каждый платеж внесен на один период раньше, значит каждый успевает заработать на один период больше.

Именно этот временной сдвиг дает множитель (1+r). Сначала можно посчитать будущую стоимость обычного аннуитета, а затем умножить результат на 1+r. Это не дополнительный платеж, а дополнительный период роста для всех платежей.

При положительной ставке FV_due всегда больше будущей стоимости обычного аннуитета с теми же C, r и n. Чем выше ставка и чем дольше срок, тем заметнее разница. При нулевой ставке оба варианта дают C*n, потому что раннее внесение не приносит дополнительного дохода.

Формула помогает в задачах накопления, где платежи вносятся сразу после получения дохода или в начале расчетного месяца. Для личных финансов это может быть автоматический взнос в инвестиционный счет первого числа месяца. Для компании - авансовое пополнение фонда или резервного счета.

Главный контроль - временная шкала. Если первый платеж стоит в момент 0, а итог оценивается в конце n-го периода, это аннуитет due. Если первый платеж стоит в момент 1, нужна обычная формула.

Как пользоваться формулой

Отметьте на временной шкале, что первый платеж происходит в момент 0.
Определите равный платеж C и число платежей n.
Переведите ставку к периоду между платежами.
Посчитайте множитель будущей стоимости обычного аннуитета.
Умножьте множитель на (1+r).
Проверьте, что итоговая дата находится в конце последнего периода.

Историческая справка

Будущая стоимость аннуитета due появилась как практическая модификация аннуитетных таблиц. В страховании, аренде и накопительных программах платежи нередко вносились заранее, поэтому обычная формула для платежей в конце периода давала систематически меньшую оценку будущего фонда. Актуарии и финансисты решали эту задачу через временную шкалу: авансовый поток является обычным аннуитетом, сдвинутым на один период назад. С развитием банковских таблиц, финансовых калькуляторов и электронных таблиц различие между ordinary annuity и annuity due стало стандартной частью раздела time value of money. Современная запись с множителем (1+r) сохраняет эту историческую логику и делает момент платежа видимым в формуле.

Историческая линия формулы

Единственного автора у формулы нет. Она является следствием формулы будущей стоимости обычного аннуитета и традиции актуарных расчетов, где момент платежа в начале или конце периода фиксировался как отдельное условие договора.

Пример

Человек вносит по 10 000 рублей в начале каждого года в течение 5 лет под 8% годовых. Для обычного аннуитета множитель накопления равен ((1,08)^5 - 1) / 0,08 ≈ 5,8666. Поскольку платежи делаются в начале периода, каждый получает еще один год роста: FV_due = 10 000 * 5,8666 * 1,08 ≈ 63 359,29 рубля. При платежах в конце года итог был бы около 58 666,01 рубля. Разница показывает цену одного дополнительного периода накопления для каждого взноса.

Частая ошибка

Частая ошибка - не отличать начало периода от конца периода и получать результат обычного аннуитета. Вторая ошибка - прибавлять один платеж вручную и одновременно умножать формулу на (1+r), что завышает итог. Третья ошибка - использовать число периодов n + 1 вместо n без понимания временной шкалы. Еще одна ошибка - забывать, что последний авансовый платеж все равно получает один период роста, потому что внесен в начале последнего периода.

Практика

Задачи с решением

Взносы в начале года

Условие. По 20 000 рублей вносят в начале каждого года 4 года. Ставка 6% годовых. Найдите будущую стоимость.

Решение. FV_due = 20 000 * ((1,06^4 - 1) / 0,06) * 1,06 ≈ 20 000 * 4,6371 = 92 741,92 рубля.

Ответ. примерно 92 741,92 рубля

Ежемесячные взносы авансом

Условие. В начале каждого месяца вносят по 5 000 рублей в течение 24 месяцев. Месячная ставка 0,5%. Найдите FV.

Решение. FV_due = 5 000 * ((1,005^24 - 1) / 0,005) * 1,005 ≈ 5 000 * 25,5591 = 127 795,58 рубля.

Ответ. примерно 127 795,58 рубля

Дополнительные источники

OpenStax Principles of Finance, раздел Future Value of an Annuity Due
CFA Program Curriculum, Quantitative Methods: Time Value of Money
Brealey, Myers, Allen, Principles of Corporate Finance, time value appendices

Связанные формулы

Финансы

Будущая стоимость обычного аннуитета

$FV=C\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}$

Формула показывает, во что превратится серия равных платежей в конце каждого периода, если каждый платеж накапливается под одну и ту же ставку.

Финансы

Приведенная стоимость аннуитета с платежами в начале периода

$PV_{due}=C\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}\cdot(1+r)$

Формула показывает текущую стоимость серии равных платежей, если каждый платеж поступает в начале периода, а не в конце.

Финансы

Регулярный платеж для накопления будущей суммы

$PMT=FV\cdot\frac{r}{(1+r)^n-1}$

Формула находит равный платеж в конце каждого периода, который нужен, чтобы накопить заданную будущую сумму при известной ставке и сроке.

Финансы

Сложные проценты с ежегодной капитализацией

$FV=P(1+r)^n$

Формула сложных процентов показывает будущую стоимость суммы, когда проценты после каждого периода добавляются к капиталу и в следующих периодах тоже участвуют в начислении.