Все формулы РФ

Финансы / Проценты и дисконтирование

Приведенная стоимость аннуитета с платежами в начале периода

Формула показывает текущую стоимость серии равных платежей, если каждый платеж поступает в начале периода, а не в конце.

Опубликовано: Обновлено:

Проценты и дисконтированиеБазовые финансовые расчетыСтоимость денег во времениАннуитетыДисконтирование

Формула

$$PV_{due}=C\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}\cdot(1+r)$$

Обозначения

$PV_{due}$
приведенная стоимость аннуитета с платежами в начале периода, рубли или другая валюта сегодня
$C$
размер каждого равного платежа, рубли или другая валюта за период
$r$
ставка дисконтирования за один период, доля единицы за период
$n$
число платежей, периоды

Условия применения

  • Платежи равные и происходят в начале каждого периода.
  • Первый платеж находится на дату оценки или сразу перед первым периодом.
  • Ставка r относится к тому же периоду, что и платежи.
  • Если r = 0, приведенная стоимость равна C*n.

Ограничения

  • Формула не подходит для обычного аннуитета с платежами в конце периода без множителя (1+r).
  • Если платежи меняются или есть пропуски, каждый денежный поток нужно дисконтировать отдельно.
  • Ставка дисконтирования должна отражать риск потока; сама формула не оценивает кредитный риск.
  • Комиссии, налоги, индексация и календарные особенности учитываются отдельными корректировками.

Подробное объяснение

Аннуитет due отличается от обычного аннуитета моментом платежа. В обычном аннуитете первый платеж приходит в конце первого периода, а в аннуитете due - в начале первого периода. Из-за этого каждый платеж оказывается на один период ближе к дате оценки и имеет большую текущую стоимость.

Формула получается из приведенной стоимости обычного аннуитета. Если обычный поток дисконтируется как C/(1+r) + C/(1+r)^2 + ... + C/(1+r)^n, то поток due выглядит как C + C/(1+r) + ... + C/(1+r)^{n-1}. Это тот же набор платежей, сдвинутый на один период к настоящему, поэтому множитель обычного аннуитета умножается на (1+r).

При положительной ставке PV_due всегда больше PV обычного аннуитета с теми же C, r и n. Разница растет вместе со ставкой: чем дороже время, тем больше ценность более раннего платежа. При нулевой ставке разницы нет, потому что время не меняет стоимость денег.

Формула особенно важна для аренды, страхования и подписок, где платежи часто вносятся заранее. Если перепутать момент платежа, оценка договора, обязательства или права на получение платежей может заметно измениться.

Перед подстановкой полезно нарисовать временную шкалу. Если первый платеж стоит на нулевой дате, это аннуитет due. Если первый платеж стоит в конце первого периода, это обычный аннуитет.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что первый платеж делается в начале периода.
  2. Определите платеж C, ставку r и число платежей n.
  3. Посчитайте множитель обычного аннуитета.
  4. Умножьте этот множитель на (1+r), чтобы учесть авансовый характер платежей.
  5. Умножьте результат на C.
  6. Сравните с обычным аннуитетом, если нужно показать эффект раннего платежа.

Историческая справка

Разделение обычного аннуитета и аннуитета due появилось из практики регулярных платежей, где момент оплаты имеет юридическое и экономическое значение. Аренда, страховые премии и некоторые пенсионные схемы часто предполагают платеж в начале периода, тогда как проценты по долгу или купоны могут выплачиваться в конце периода. В актуарных таблицах и банковских расчетах это различие закрепилось как отдельный тип аннуитета. Математически новая формула не требует отдельного открытия: она является сдвигом геометрической прогрессии на один период. Но в прикладных финансах этот сдвиг стал самостоятельным правилом, потому что ошибка в моменте платежа приводит к систематическому завышению или занижению стоимости договора.

Историческая линия формулы

Формула аннуитета due относится к традиции актуарной и банковской математики. Единственного автора у нее нет: это развитие формулы приведенной стоимости аннуитета через временной сдвиг платежей на один период и практику авансовых регулярных выплат.

Пример

Арендатор платит по 50 000 рублей в начале каждого года в течение 4 лет. Ставка дисконтирования 10% годовых. Обычный аннуитетный множитель равен [1 - (1,10)^(-4)] / 0,10 ≈ 3,1699. Поскольку платежи идут в начале периода, множитель умножают на 1,10: PV_due = 50 000 * 3,1699 * 1,10 ≈ 174 342,60 рубля. Это больше, чем PV обычного аннуитета с теми же платежами, потому что каждый платеж приходит на один период раньше и дисконтируется меньше. Первый платеж вообще не нужно переносить из будущего к сегодняшней дате.

Частая ошибка

Главная ошибка - применять формулу обычного аннуитета к авансовым платежам. Это занижает текущую стоимость, потому что каждый платеж считается на один период дальше. Вторая ошибка - умножать на (1+r) дважды: сначала сдвинуть платежи вручную, а затем еще раз применить формулу due. Третья ошибка - использовать годовую ставку для ежемесячной аренды. Еще одна ошибка - считать первый платеж будущим, хотя при аннуитете due он обычно происходит сразу.

Практика

Задачи с решением

Авансовая аренда

Условие. Арендные платежи по 25 000 рублей в начале каждого года идут 3 года. Ставка дисконтирования 9%. Найдите приведенную стоимость.

Решение. PV_due = 25 000 * [1 - 1,09^(-3)] / 0,09 * 1,09 ≈ 25 000 * 2,7591 = 68 977,47 рубля.

Ответ. примерно 68 977,47 рубля

Ежемесячная предоплата

Условие. Подписка оплачивается по 15 000 рублей в начале каждого месяца 12 месяцев. Месячная ставка 1%. Найдите PV.

Решение. PV_due = 15 000 * [1 - 1,01^(-12)] / 0,01 * 1,01 ≈ 15 000 * 11,3676 = 170 514,42 рубля.

Ответ. примерно 170 514,42 рубля

Дополнительные источники

  • OpenStax Principles of Finance, раздел Annuities Due
  • CFA Program Curriculum, Quantitative Methods: Annuities
  • Brealey, Myers, Allen, Principles of Corporate Finance, приложения по стоимости денег во времени

Связанные формулы

Финансы

Приведенная стоимость обычного аннуитета

$PV=C\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}$

Формула приведенной стоимости обычного аннуитета находит текущую стоимость серии равных платежей, которые происходят в конце каждого периода.

Финансы

Будущая стоимость обычного аннуитета

$FV=C\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}$

Формула показывает, во что превратится серия равных платежей в конце каждого периода, если каждый платеж накапливается под одну и ту же ставку.