Математика / Линейная алгебра

Теорема Кэли—Гамильтона: матрица в своём многочлене

По теореме Кэли—Гамильтона квадратная матрица обращает свой характеристический многочлен в нулевую матрицу. Это позволяет сокращать высокие степени и выражать обратную матрицу через полином.

Опубликовано: 6 ноября 2026 г.Обновлено: 6 ноября 2026 г.

Формула

p_A(t)=\det(tI-A)\quad\Longrightarrow\quad p_A(A)=0;\qquad A^2-(\operatorname{tr}A)A+(\det A)I=0\quad(n=2)

Схема Внедиагональный элемент растёт

Для A=[[1,1],[0,2]] верхние правые элементы A,A²,A³ равны 1,3,7; рекурсия сохраняет их.

Обозначения

$p_A(t)$: характеристический многочлен det(tI−A)
$I$: единичная матрица того же порядка, что A
$p_A(A)$: матричный полином с заменой скалярных степеней t на степени A
$0$: нулевая матрица, а не скаляр в отдельной ячейке

Условия применения

Матрица A квадратная. Сначала характеристический многочлен вычисляют как скалярный полином по t, затем подставляют матрицу A, заменяя свободный коэффициент c на cI. Теорема не требует диагонализуемости и применима к матрицам с повторными собственными значениями.

Ограничения

Нельзя буквально подставить A внутрь det(tI−A), обращаясь с матричной переменной как со скаляром: смысл задаётся уже вычисленным полиномом. Минимальный многочлен может иметь меньшую степень и давать более короткие сокращения. Для численного расчёта высоких степеней устойчивость отдельной реализации требует проверки.

Подробное объяснение

Характеристический многочлен определяется собственными значениями, но теорема утверждает равенство для всей матрицы, включая её недиагональные части. Если p_A(t)=t²−3t+2, то p_A(A) означает A²−3A+2I. Нулём должна стать каждая ячейка полученной матрицы.

Для порядка два коэффициенты выражаются через след и определитель. Равенство A²=tr(A)A−det(A)I переводит степень два в комбинацию первой степени и единичной матрицы. Последующее умножение на A даёт рекурсию для всех более высоких степеней.

Например, при следе 3 и определителе 2 имеем A³=3A²−2A=7A−6I. Для треугольной A=[[1,1],[0,2]] это даёт[[1,7],[0,8]]. Внедиагональный элемент учитывается автоматически, поэтому замена матрицы только её диагональю привела бы к неверному ответу.

Если определитель ненулевой, из A²−3A+2I=0 после умножения на A⁻¹ получается A⁻¹=(3I−A)/2. Это не универсальная формула для всех матриц: коэффициенты 3 и 2 относятся к конкретному характеристическому многочлену.

Матрица с повторным собственным значением не обязана быть диагонализуемой, но теорема всё равно действует. Например, у [[0,1],[0,0]] характеристический многочлен t², и квадрат матрицы действительно равен нулю, хотя сама она ненулевая. Этот случай показывает, почему рассуждения только по списку собственных чисел могут быть недостаточны.

Как пользоваться формулой

Вычислите характеристический многочлен как обычный полином по скалярной переменной t, согласовав выбор det(tI−A).
Замените t^k на A^k и каждый постоянный коэффициент c на cI; сохраните все знаки коэффициентов полинома.
Используйте равенство нулю для сокращения степеней или получения рекурсии, не предполагая диагонализуемость матрицы.
Проверьте результат прямым умножением на малом примере; для обратной матрицы отдельно убедитесь в ненулевом определителе.

Историческая справка

Работа Артура Кэли «A Memoir on the Theory of Matrices» опубликована в 1858 году и относится к становлению матричной алгебры как самостоятельного языка. Теорема, известная под именами Кэли и Гамильтона, выражает связь характеристического уравнения с самим линейным оператором.

Современное алгебраическое изложение распространяет этот принцип за пределы конкретных малых матриц. Например, в книге Алтмана и Клеймана «A Term of Commutative Algebra», редакция 2013 года, теорема рассматривается в отдельной главе. Для учебного расчёта принципиально различать характеристический полином как скалярный объект и его последующее матричное вычисление: такое различие устраняет ошибочный круговой аргумент с определителем матричной переменной.

Историческая линия формулы

Двойное имя Кэли—Гамильтона сохраняется за теоремой о характеристическом многочлене. Публикация Кэли 1858 года является первичным историческим ориентиром; здесь не утверждается, что в ней дано современное доказательство всех возможных обобщений теоремы.

Пример

Пусть A=[[1,1],[0,2]]. След равен 3, определитель 2, значит p_A(t)=t²−3t+2. По теореме A²−3A+2I=0. Прямое умножение даёт A²=[[1,3],[0,4]], что совпадает с 3A−2I. Чтобы получить куб, умножим равенство на A: A³=3A²−2A=3(3A−2I)−2A=7A−6I=[[1,7],[0,8]]. Ответ: A³=[[1,7],[0,8]]. Проверка независимым произведением A²A: верхний правый элемент 1·1+3·2=7, диагональ 1 и 8. Все элементы в этом учебном примере безразмерны. Метод сократил вычисление куба до комбинации исходной матрицы и единичной, сохранив внедиагональный вклад.

Частая ошибка

Не заменяйте свободный коэффициент числом в каждой ячейке: нужен cI. Не считайте теорему условной на диагонализуемость. Не сокращайте порядок полинома без доказательства его минимальности. Не применяйте формулу обратной, полученную делением на определитель, когда определитель равен нулю.

Практика

Задачи с решением

Обратная через полином

Условие. Для A=[[1,1],[0,2]] выразите A⁻¹ через A и I.

Решение. Из A²−3A+2I=0 получаем A⁻¹=(3I−A)/2=[[1,−1/2],[0,1/2]].

Ответ. [[1,−0,5],[0,0,5]].

Нильпотентная матрица

Условие. N=[[0,1],[0,0]]. Найдите p_N(t) и N².

Решение. След и определитель нулевые, поэтому p_N(t)=t². Прямое умножение даёт нулевую матрицу.

Ответ. p_N(t)=t², N²=0 при N≠0.

Дополнительные источники

https://doi.org/10.1098/rstl.1858.0002
https://web.mit.edu/18.705/www/13Ed-2up.pdf

Связанные формулы

Математика

Характеристический многочлен матрицы 2x2

$p(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)$

Характеристический многочлен матрицы 2x2 выражается через след и определитель. Его корни являются собственными значениями матрицы.

Математика

След матрицы

$\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$

След квадратной матрицы равен сумме элементов главной диагонали. Он сохраняется при замене базиса и связан с собственными значениями.

Математика

Обратная матрица 2x2

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

Обратная матрица 2x2 существует только при ненулевом определителе. Она обращает действие исходной матрицы: A^{-1}A = I, то есть возвращает исходный вектор.