Химия / Электрохимия

Уравнение Левича для предельного тока вращающегося диска

Уравнение Левича рассчитывает предельный ток на вращающемся дисковом электроде по концентрации реагента, площади, диффузии, вязкости и угловой скорости. В форме с коэффициентом 0,620 используют величины в СИ и ω в радианах в секунду.

Опубликовано: 12 ноября 2026 г.Обновлено: 12 ноября 2026 г.

Формула

i_L=0.620\cdot nFAcD^{2/3}\omega^{1/2}\nu^{-1/6}

Схема Плато тока и вращение диска

В массопереносном режиме ток пропорционален квадратному корню угловой скорости.

Обозначения

$i_L$: модуль предельного фарадеевского тока на дисковом электроде, А
$n$: число электронов в электродной реакции, 1
$F$: постоянная Фарадея, 96485 Кл/моль, Кл/моль
$A$: геометрическая площадь открытой поверхности диска, м²
$c$: объёмная концентрация реагирующей формы в объёме раствора, моль/м³
$D$: коэффициент диффузии реагирующей формы, м²/с
$ω$: угловая скорость вращения диска, рад/с
$ν$: кинематическая вязкость раствора, м²/с

Условия применения

Предполагаются плоский гладкий диск в ламинарном режиме, постоянная скорость вращения, стационарный перенос, однородный объёмный раствор и достаточно большой потенциал, чтобы поверхностная концентрация реагента у предельного тока была близка к нулю. В избытке фонового электролита миграционный перенос подавлен; не учитываются пузырьки, краевые эффекты, сильная шероховатость и химическая реакция, предшествующая или следующая за переносом электронов.

Ограничения

Уравнение описывает массопереносное плато, а не весь ток-потенциальный отклик и не собственную скорость электронного переноса. Если ток не достиг предельного значения, параллельно ограничен кинетикой или зависит от края диска, значение по формуле не обязано совпасть с экспериментом. Число 0,620 относится к ω в рад/с и согласованным величинам СИ; для частоты в оборотах за секунду сначала вычисляют ω=2πf; допустима и согласованная сантиметровая система.

Подробное объяснение

Уравнение связывает ток плато с тем, насколько быстро раствор подводит реагент к вращающейся поверхности. При достаточно сильном восстановительном или окислительном потенциале реагент у самого диска расходуется почти сразу, поэтому ток определяется главным образом его диффузионно-конвективным притоком.

Вращение задаёт закономерный поток жидкости: раствор движется к поверхности диска и уходит радиально. Баланс вязкого течения и диффузии формирует тонкий концентрационный слой. Решение стационарной задачи переноса даёт поток, пропорциональный D^(2/3), ω^(1/2) и ν^(−1/6); умножение на nF и площадь превращает поток вещества в ток.

При удвоении скорости вращения ток плато возрастает в √2 раза, если остальные величины и режим сохраняются. Быстрая диффузия увеличивает ток как D^(2/3), а более вязкий раствор уменьшает его как ν^(−1/6). В формулах с частотой оборотов вместо угловой скорости надо учитывать ω=2πf.

Типичная задача: измерить плато при нескольких скоростях, построить i_L от √ω и получить прямую. Её наклон зависит от n, F, A, c, D и ν; поэтому измерение помогает извлечь один неизвестный параметр, если остальные заданы независимо.

Левиховский ток отличается от пика Рэндлса — Шевчика: первый является стационарным пределом при принудительной конвекции на вращающемся диске, второй — переходным пиком при линейном изменении потенциала на неподвижном электроде. Уравнение Кутецкого — Левича добавляет кинетическое сопротивление к массопереносу.

Проверяйте, что в c стоят моли на кубический метр, D и ν — квадратные метры в секунду, A — квадратные метры, а ω — радианы в секунду. Для реакции на один электрон n=1; число атомов в молекуле или заряд иона не заменяют число электронов из сбалансированной полуреакции.

Как пользоваться формулой

Определите плато тока и вычтите фоновый ток; проверьте, что при выбранном потенциале скорость реакции не ограничивает наблюдаемый ток.
Запишите полуреакцию и найдите число электронов n; выберите концентрацию той формы вещества, которая достигает диска.
Переведите A, c, D, ω и кинематическую вязкость ν в СИ; для частоты f в оборотах в секунду вычислите ω=2πf.
Подставьте значения в i_L=0,620 nFAcD^(2/3)ω^(1/2)ν^(−1/6), сохраняя угловую скорость в рад/с.
Проверьте размерность: результат должен быть током в амперах, положительным модулем для выбранной ветви.
Сравните рассчитанное значение с экспериментальными плато при нескольких ω и проверьте линейность i_L от √ω до вывода о массопереносном контроле.

Историческая справка

В 1940-х годах гидродинамические методы стали важным способом управлять доставкой вещества к электроду. Вращение диска создаёт воспроизводимый поток вместо свободной конвекции, которая в обычной ячейке зависит от температуры, формы сосуда и перемешивания. Это позволило связать измеренный ток с параметрами раствора через модель переноса.

Вениамин Левич в 1940-х годах развивал теорию концентрационной поляризации вращающегося дискового электрода, применив гидродинамику и диффузию к задаче электрохимического массопереноса. Эта линия исследований вошла в его книгу 1952 года «Физико-химическая гидродинамика» и была закреплена в экспериментальной практике вращающихся электродов.

Современная запись часто использует коэффициент 0,620 и угловую скорость в СИ. IUPAC фиксирует более общую форму с численным коэффициентом, зависящим от набора единиц, и явно определяет величины. Поэтому исторически важен не один набор цифр, а решение стационарной гидродинамической задачи для конкретной геометрии и режима.

Историческая линия формулы

Уравнение названо в честь Вениамина Григорьевича Левича, разработавшего в 1942 году гидродинамическую теорию переноса к вращающемуся дисковому электроду. Коэффициент 0,620 — численная форма решения при конкретном определении угловой скорости и единицах, а не отдельная универсальная константа для любого режима.

Пример

Для одноэлектронного восстановления на диске площадью 0,500 см² измеряют раствор с c=1,00 ммоль/л, D=7,00·10⁻¹⁰ м²/с и ν=1,00·10⁻⁶ м²/с. Диск вращается с ω=100 рад/с. Оценим модуль предельного тока. Дано: n=1; A=0,500 см²=5,00·10⁻⁵ м²; c=1,00 ммоль/л=1,00 моль/м³; D=7,00·10⁻¹⁰ м²/с; ν=1,00·10⁻⁶ м²/с; ω=100 рад/с. Подстановка: i_L=0,620·1·96485·5,00·10⁻⁵·1,00·(7,00·10⁻¹⁰)^(2/3)·100^(1/2)·(1,00·10⁻⁶)^(−1/6) А. После вычисления получаем i_L≈2,36·10⁻⁴ А, или 0,236 мА. Это модуль тока плато с тремя значащими цифрами. Проверка: при неизменной системе величин удвоение ω не удваивает ток, а умножает его на √2. Размерность выражения с коэффициентом 0,620 и согласованными величинами СИ соответствует амперам; молярную концентрацию из ммоль/л перед подстановкой перевели в моль/м³.

Частая ошибка

Частые ошибки: вводят обороты в минуту как будто это рад/с; берут динамическую вязкость в Па·с вместо кинематической в м²/с; используют см² и моль/л с коэффициентом для СИ; считают ток на краю диска без поправки на его вклад. Не называйте ток плато лимитирующим, пока данные не показывают массопереносный режим.

Практика

Задачи с решением

Ток при четырёхкратной скорости вращения

Условие. В условиях примера скорость диска увеличили со 100 до 400 рад/с. Найдите новый предельный ток по уравнению Левича.

Решение. При неизменных растворе и площади i_L∝√ω. Поэтому i₂/i₁=√(400/100)=2. Независимый расчёт для исходных параметров даёт i₁≈2,358·10⁻⁴ А, следовательно i₂=2i₁≈4,716·10⁻⁴ А.

Ответ. i_L₂≈472 мкА.

Коэффициент диффузии по плато

Условие. При ω=100 рад/с измерено плато i_L=235,8 мкА. Для реакции n=1 известны A=0,500 см², c=1,00 ммоль/л и ν=1,00·10⁻⁶ м²/с. Найдите D.

Решение. Из i_L=0,620nFAcD^(2/3)ω^(1/2)ν^(−1/6) выразим D=[i_L/(0,620nFAc√ω·ν^(−1/6))]^(3/2). Переводим площадь в м² и концентрацию в моль/м³, подставляем измеренный ток и получаем D≈7,00·10⁻¹⁰ м²/с.

Ответ. D≈7,00·10⁻¹⁰ м²/с.

Дополнительные источники

https://goldbook.iupac.org/terms/view/09140
https://doi.org/10.1515/pac-2018-0109
https://www.elch.chem.msu.ru/wp3/index.php/ru/articles/levicharticles/
https://pangroup.as.ua.edu/principle-of-electrochemistry/
https://www.elch.chem.msu.ru/kuznetsov/jec1977_1.pdf

Связанные формулы

Химия

Уравнение Рэндлса — Шевчика для пикового тока вольтамперометрии

$i_p=0.4463\cdot nFAc\sqrt{\frac{nFDv}{RT}}$

Уравнение Рэндлса — Шевчика связывает пик тока в циклической вольтамперометрии с концентрацией растворённого вещества, площадью электрода, диффузией и скоростью развертки. Для обратимой реакции при 298 К используют также сантиметровую форму с коэффициентом 2,69·10⁵.

Химия

Уравнение Коттрелла: диффузионный ток после скачка потенциала

$|I(t)|=\frac{nFAc^*\sqrt D}{\sqrt{\pi t}},\qquad t>0$

Уравнение Коттрелла описывает убывание диффузионного тока у плоского электрода после скачка потенциала. При полном расходовании реагента на поверхности модуль тока пропорционален концентрации и обратно пропорционален корню времени.

Химия

Уравнение Санда: время истощения реагента при постоянном токе

$\tau=\frac{\pi D}{4}\left(\frac{nFc^*}{|j|}\right)^2$

Уравнение Санда определяет время, за которое при постоянной плотности тока концентрация расходуемого реагента на плоском электроде падает до нуля. В модели полуограниченной диффузии время обратно пропорционально квадрату тока.

Химия

Уравнение Батлера — Фольмера: ток одноэлектронной реакции

$j=j_0\left[\exp\left(\frac{(1-\alpha)F\eta}{RT}\right)-\exp\left(-\frac{\alpha F\eta}{RT}\right)\right]$

Уравнение Батлера — Фольмера связывает плотность тока с перенапряжением на электроде. Для одноэлектронной реакции анодный и катодный вклады имеют разные знаки; при равновесии они компенсируются, хотя обмен продолжается.