Все формулы РФ

Физика / Молекулярная физика

Число Био и равномерность температуры тела

Число Био сравнивает сопротивление теплопроводности внутри тела с сопротивлением теплоотдачи на его поверхности. Малое Bi позволяет приближённо считать температуру тела одинаковой по объёму.

Опубликовано: Обновлено:

Молекулярная физикаСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаФормулы высшей физики

Формула

$$\mathrm{Bi}=\frac{hL_c}{\lambda},\qquad L_c=\frac{V}{A_s}$$
График Bi и h, Вт/(м²·К)
Bi в зависимости от h, Вт/(м²·К)Bi000,001500,0031000,0041500,005200h, Вт/(м²·К)

Lc = 0,005 м, теплопроводность тела 200 Вт/(м·К).

Обозначения

$Bi$
число Био, 1
$h$
коэффициент теплоотдачи от поверхности к среде, Вт/(м²·К)
$Lc$
характерная длина V/As для сосредоточенной модели, м
$λ$
теплопроводность материала тела, Вт/(м·К)
$V$
объём тела, м³
$As$
площадь поверхности, участвующей в теплообмене, м²

Условия применения

Для указанного критерия Lc берут как объём, делённый на активную площадь поверхности. Материал однороден, свойства и коэффициент теплоотдачи оценивают в нужном температурном диапазоне. При нескольких поверхностях с разными условиями простое одночисловое сравнение требует осторожности.

Ограничения

Правило Bi < 0,1 — практическая оценка пригодности, а не универсальная гарантия заданной точности. В таблицах нестационарной теплопроводности могут использовать радиус или половину толщины вместо V/As; определения нужно сверять. Излучение или внутренние источники могут нарушить простую модель охлаждения.

Подробное объяснение

Для движения теплоты из глубины тела к среде нужны два этапа: теплопроводность внутри и теплоотдача на границе. Оценка внутреннего сопротивления пропорциональна Lc/λ, а поверхностного — 1/h. Их отношение равно hLc/λ. Поэтому малое Bi означает, что внутри температура выравнивается сравнительно легко, а основной перепад возникает между поверхностью и средой.

При большом Bi поверхность может быстро охлаждаться, тогда как центр остаётся горячим. Одна температура уже плохо описывает тело: необходимо решать уравнение теплопроводности с граничным условием. Увеличение теплопроводности уменьшает Bi, а усиление обдува и рост размера увеличивают его.

Число Био не следует путать с числом Нуссельта. В обоих выражениях встречаются h и длина, но для Bi в знаменателе стоит теплопроводность твёрдого тела, а для Nu — теплопроводность окружающей жидкости или газа. Они сравнивают разные механизмы и не заменяют друг друга.

При использовании Lc = V/As шар радиуса r имеет Lc = r/3, а длинный цилиндр, обменивающийся теплотой боковой поверхностью, — примерно r/2. Геометрическое определение нельзя менять незаметно: иначе одно и то же тело получит разные численные критерии без пояснения.

Как пользоваться формулой

  1. Определите объём тела и только ту площадь, через которую идёт рассматриваемый теплообмен.
  2. Вычислите Lc = V/As для проверки сосредоточенной модели.
  3. Возьмите h среды и λ материала тела, затем рассчитайте hLc/λ.
  4. При малом Bi оцените допустимость одной температуры; при заметном Bi учитывайте внутренние градиенты.
  5. Сверьте определение длины, если используете справочную диаграмму или иной критерий точности.

Историческая справка

Число Био названо в честь Жана-Батиста Био и используется в теории теплопередачи как безразмерное сравнение сопротивлений. Развитие нестационарной теплопроводности показало, что форма температурного поля зависит не только от материала, но и от условий на поверхности.

Безразмерная запись позволила обобщать решения для тел разных размеров и материалов. В практических расчётах малое число Био стало основанием для сосредоточенной модели, в которой вместо температурного поля решают одно уравнение теплового баланса. Более сложные решения сохраняют пространственное распределение и используют собственное определение характерного размера. Поэтому современное применение критерия всегда включает описание геометрии и условий теплообмена, а не только численное значение.

Историческая линия формулы

Название связано с Жаном-Батистом Био, а формула представляет безразмерное отношение характерных сопротивлений внутреннего переноса и поверхностной теплоотдачи. Практический порог малости относится к приближённой модели и не является отдельным законом природы.

Пример

Для детали Lc = 0,005 м, λ = 200 Вт/(м · К), коэффициент теплоотдачи h = 20 Вт/(м² · К). Тогда Bi = 20 · 0,005/200 = 0,0005. Это значительно меньше распространённого ориентировочного порога 0,1, поэтому при прочих условиях модель равномерной температуры выглядит обоснованной. Если при той же геометрии взять материал с λ = 0,2 Вт/(м · К), получится Bi = 0,5: сопротивление внутри уже нельзя считать малым. Расчёт сравнивает процессы переноса, но не даёт длительность охлаждения. Для времени дополнительно нужны масса, теплоёмкость и начальные и граничные температуры.

Частая ошибка

Нельзя подставлять теплопроводность воздуха вместо теплопроводности тела — это ведёт к другому критерию. Длина в метрах и площадь в м² должны быть согласованы. Порог 0,1 не является абсолютной физической границей. Если часть поверхности теплоизолирована, включение её в As занижает характерную длину и может исказить оценку.

Практика

Задачи с решением

Шар

Условие. Шар радиуса 0,03 м охлаждается всей поверхностью. h = 10 Вт/(м² · К), λ = 1 Вт/(м · К). Найдите Bi с Lc = V/As.

Решение. Lc = r/3 = 0,01 м. Bi = 10 · 0,01/1 = 0,10.

Ответ. Bi = 0,10; пограничная ориентировочная оценка.

Усиление теплоотдачи

Условие. При Lc = 0,005 м и λ = 200 Вт/(м · К) h увеличили до 100 Вт/(м² · К). Найдите Bi.

Решение. Bi = 100 · 0,005/200 = 0,0025.

Ответ. Bi = 0,0025.

Дополнительные источники

  • https://web.mit.edu/16.unified/OldFiles/www/FALL/thermodynamics/notes/node124.html
  • https://ocw.mit.edu/courses/2-51-intermediate-heat-and-mass-transfer-fall-2008/pages/readings/

Связанные формулы

Физика

Закон Ньютона охлаждения тела

$T=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}$

Закон Ньютона охлаждения описывает экспоненциальное уменьшение разности температур тела и среды. Он предполагает постоянные условия теплообмена и почти равномерную температуру внутри тела.

Физика

Температуропроводность вещества

$a=\frac{\lambda}{\rho c}$

Температуропроводность a характеризует скорость выравнивания температуры теплопроводностью. Она равна отношению теплопроводности λ к объёмной теплоёмкости ρc и измеряется в м²/с.